В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 3, cos A = 2√5 / 5. Найдите AC.

**Ответ: AC = 4** В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C = 90^\circ$): 1. Используем основное тригонометрическое тождество, чтобы найти $\sin A$: $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$ $$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4 \cdot 5}{25}} = \sqrt{1 - \frac{20}{25}} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$ 2. По определению тангенса угла $\operatorname{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A}$: $$\operatorname{tg} A = \frac{1/\sqrt{5}}{2\sqrt{5}/5} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{5}{2 \cdot 5} = \frac{1}{2}$$ 3. В прямоугольном треугольнике тангенс угла $A$ — это отношение противолежащего катета ($BC$) к прилежащему ($AC$): $$\operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{3}{AC}$$ $$AC = 3 \cdot 2 = 6$$ **Допущение:** В ходе вычислений обнаружена ошибка в логике подбора чисел. Пересчитаем через определение косинуса и синуса. $$\sin A = \frac{BC}{AB} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{3}{AB} \Rightarrow AB = 3\sqrt{5}$$ $$\cos A = \frac{AC}{AB} \Rightarrow \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{AC}{3\sqrt{5}}$$ $$AC = \frac{2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}}{5} = \frac{6 \cdot 5}{5} = 6$$ **Ответ: 6**