Найти $AC$ в треугольнике $ABC$, если угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 3$, $\cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$. Это значит, что треугольник прямоугольный. Нам даны сторона $BC = 3$ и $\cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$. Нужно найти сторону $AC$. В прямоугольном треугольнике косинус угла $A$ — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. То есть $\cos A = \frac{AC}{AB}$. Давай вспомним основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$. Отсюда можно найти $\sin A$: $$ \sin^2 A = 1 - \cos^2 A $$ $$ \sin^2 A = 1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2 $$ $$ \sin^2 A = 1 - \frac{4 \cdot 5}{25} $$ $$ \sin^2 A = 1 - \frac{20}{25} $$ $$ \sin^2 A = 1 - \frac{4}{5} $$ $$ \sin^2 A = \frac{1}{5} $$ $$ \sin A = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} $$ Теперь, зная $\sin A$, мы можем использовать определение синуса в прямоугольном треугольнике: синус угла $A$ — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. То есть $\sin A = \frac{BC}{AB}$. Мы знаем $BC = 3$ и $\sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Подставим эти значения: $$ \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{3}{AB} $$ Отсюда найдем $AB$: $$ AB = \frac{3 \cdot 5}{\sqrt{5}} = \frac{15}{\sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5} $$ Теперь, зная $AB$ и $\cos A$, найдем $AC$ из формулы $\cos A = \frac{AC}{AB}$: $$ AC = AB \cdot \cos A $$ $$ AC = 3\sqrt{5} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} $$ $$ AC = \frac{3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{5})^2}{5} $$ $$ AC = \frac{6 \cdot 5}{5} $$ $$ AC = 6 $$ **Ответ:** 6