Вычислите значение выражения $\sqrt{3} - \sqrt{12} \sin^2 \frac{5\pi}{12}$

Для решения примера $\sqrt{3} - \sqrt{12} \sin^2 \frac{5\pi}{12}$ сначала упростим $\sqrt{12}$ и используем формулу понижения степени для $\sin^2 x$. 1. Упростим $\sqrt{12}$: $$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$$ 2. Подставим это в выражение: $$\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \sin^2 \frac{5\pi}{12}$$ 3. Используем формулу понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ Здесь $x = \frac{5\pi}{12}$, значит $2x = 2 \cdot \frac{5\pi}{12} = \frac{5\pi}{6}$. $$\sin^2 \frac{5\pi}{12} = \frac{1 - \cos(\frac{5\pi}{6})}{2}$$ 4. Найдём значение $\cos(\frac{5\pi}{6})$: Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во второй четверти, где косинус отрицательный. $$\cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 5. Подставим значение косинуса в формулу для $\sin^2 \frac{5\pi}{12}$: $$\sin^2 \frac{5\pi}{12} = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\frac{2+\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4}$$ 6. Теперь подставим это обратно в основное выражение: $$\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \left(\frac{2+\sqrt{3}}{4}\right)$$ 7. Сократим $2$ и $4$ в знаменателе: $$\sqrt{3} - \sqrt{3} \left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)$$ 8. Раскроем скобки: $$\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{2} = \sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{2} = \sqrt{3} - \frac{2\sqrt{3} + 3}{2}$$ 9. Приведём к общему знаменателю: $$\frac{2\sqrt{3}}{2} - \frac{2\sqrt{3} + 3}{2} = \frac{2\sqrt{3} - (2\sqrt{3} + 3)}{2}$$ 10. Упростим: $$\frac{2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 3}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5$$ **Ответ:** $-1.5$