Вычислите значение выражения $\sqrt{3} - \sqrt{12} \sin^2 \frac{5\pi}{12}$

$$\sqrt{3} - \sqrt{12} \sin^2 \frac{5\pi}{12} = \sqrt{3} - 2\sqrt{3} \sin^2 \frac{5\pi}{12}$$ Используем формулу понижения степени для синуса: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$. В нашем случае $x = \frac{5\pi}{12}$, значит $2x = 2 \cdot \frac{5\pi}{12} = \frac{5\pi}{6}$. $$\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \left( \frac{1 - \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)}{2} \right) = \sqrt{3} - \sqrt{3} \left( 1 - \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) \right)$$ Мы знаем, что $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. $$= \sqrt{3} - \sqrt{3} \left( 1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) = \sqrt{3} - \sqrt{3} \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$ Раскрываем скобки: $$= \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} - \sqrt{3} - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}$$ **Ответ:** $-\frac{3}{2}$