Вычислить значение выражения $\sqrt{3} - \sqrt{12 \sin^2 \frac{5\pi}{12}}$

Нам нужно вычислить значение выражения. $$\sqrt{3} - \sqrt{12 \sin^2 \frac{5\pi}{12}}$$ Сначала упростим второй член выражения: $$\sqrt{12 \sin^2 \frac{5\pi}{12}} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot \sin^2 \frac{5\pi}{12}} = 2\sqrt{3} \left| \sin \frac{5\pi}{12} \right|$$ Угол $\frac{5\pi}{12}$ находится в первой четверти, поэтому $\sin \frac{5\pi}{12} > 0$. Значит, можно убрать модуль: $$2\sqrt{3} \sin \frac{5\pi}{12}$$ Теперь вычислим $\sin \frac{5\pi}{12}$. Можно представить $\frac{5\pi}{12}$ как сумму или разность углов, синусы которых известны. Например, $\frac{5\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}$. Используем формулу синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$. $$\sin \frac{5\pi}{12} = \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} \right) = \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{6} + \cos \frac{\pi}{4} \sin \frac{\pi}{6}$$ Подставим известные значения: $$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$ Получаем: $$\sin \frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$ Теперь подставим это значение обратно во вторую часть выражения: $$2\sqrt{3} \sin \frac{5\pi}{12} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2}$$ Раскроем скобки: $$ \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{9 \cdot 2} + \sqrt{6}}{2} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$$ Теперь вернемся к исходному выражению и подставим упрощенную вторую часть: $$\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$$ Приведем к общему знаменателю: $$\frac{2\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} = \frac{2\sqrt{3} - (3\sqrt{2} + \sqrt{6})}{2} = \frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$$ **Ответ:** $\frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$