а) Решите уравнение: $\frac{4\cos^3 x - 6\cos x}{\cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)} = 3$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 4\pi\right]$.

а) Решим уравнение: $$ \frac{4\cos^3 x - 6\cos x}{\cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right)} = 3 $$ Сначала упростим знаменатель: $$ \cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \sin(2x) $$ Тогда уравнение примет вид: $$ \frac{4\cos^3 x - 6\cos x}{\sin(2x)} = 3 $$ Знаменатель не должен быть равен нулю, значит $$\sin(2x) \neq 0$$, что означает $$2x \neq \pi k \implies x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$$. Используем формулу двойного угла для синуса: $$\sin(2x) = 2\sin x \cos x$$. Уравнение становится: $$ \frac{4\cos^3 x - 6\cos x}{2\sin x \cos x} = 3 $$ Вынесем $$\cos x$$ из числителя: $$ \frac{\cos x (4\cos^2 x - 6)}{2\sin x \cos x} = 3 $$ Так как $$\cos x$$ не может быть равен нулю (иначе $$\sin(2x)=0$$), можем сократить на $$\cos x$$: $$ \frac{4\cos^2 x - 6}{2\sin x} = 3 $$ Заменим $$\cos^2 x$$ на $$\left(1 - \sin^2 x\right)$$. Тогда: $$ \frac{4(1 - \sin^2 x) - 6}{2\sin x} = 3 $$ $$ \frac{4 - 4\sin^2 x - 6}{2\sin x} = 3 $$ $$ \frac{-4\sin^2 x - 2}{2\sin x} = 3 $$ Разделим числитель на 2: $$ \frac{-2\sin^2 x - 1}{\sin x} = 3 $$ Перенесём $$\sin x$$ в правую часть: $$ -2\sin^2 x - 1 = 3\sin x $$ Перенесём все слагаемые в одну часть: $$ 2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0 $$ Пусть $$t = \sin x$$. Получим квадратное уравнение: $$ 2t^2 + 3t + 1 = 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения: $$ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1 $$ $$ t_1 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1 $$ $$ t_2 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $$ Вернёмся к $$\sin x$$: 1) $$\sin x = -1 $$ $$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $$ Проверим условие $$\sin(2x) \neq 0$$. Если $$\sin x = -1$$, то $$\cos x = 0$$. Тогда $$\sin(2x) = 2\sin x \cos x = 2(-1)(0) = 0$$. Это решение не подходит. 2) $$\sin x = -\frac{1}{2} $$ $$ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $$ Для этих значений $$\sin x = -1/2$$, значит $$\cos x \neq 0$$, и $$\sin(2x) = 2\sin x \cos x \neq 0$$. Эти решения подходят. **Ответ к пункту а):** $$ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} $$ б) Найдём все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[\frac{3\pi}{2}; 4\pi\right]$$. Рассмотрим $$\sin x = -\frac{1}{2}$$. Границы отрезка: $$\frac{3\pi}{2} = 1.5\pi$$ и $$4\pi$$. Для серии $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ При $$n=1: x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$$. Это $$1.833...\pi$$. Корень принадлежит отрезку $$\left[\frac{3\pi}{2}; 4\pi\right]$$. При $$n=2: x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}$$. Это $$3.833...\pi$$. Корень принадлежит отрезку $$\left[\frac{3\pi}{2}; 4\pi\right]$$. При $$n=0: x = -\frac{\pi}{6}$$. Не принадлежит. При $$n=3: x = -\frac{\pi}{6} + 6\pi = \frac{35\pi}{6}$$. Это $$5.833...\pi$$. Не принадлежит. Для серии $$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$ При $$n=1: x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6}$$. Это $$1.166...\pi$$. Не принадлежит. При $$n=2: x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}$$. Это $$3.166...\pi$$. Корень принадлежит отрезку $$\left[\frac{3\pi}{2}; 4\pi\right]$$. При $$n=3: x = -\frac{5\pi}{6} + 6\pi = \frac{31\pi}{6}$$. Это $$5.166...\pi$$. Не принадлежит. Корни, принадлежащие отрезку $$\left[\frac{3\pi}{2}; 4\pi\right]$$, это: $$ \frac{11\pi}{6}, \frac{23\pi}{6}, \frac{19\pi}{6} $$ **Ответ к пункту б):** $$\frac{11\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}, \frac{23\pi}{6}$$.