Решите уравнение $2 \cos^2 x + 3\sqrt{2} \cos x - 4 = 0$.

а) Решим уравнение $2 \cos^2 x + 3\sqrt{2} \cos x - 4 = 0$. Пусть $t = \cos x$. Тогда уравнение примет вид $2t^2 + 3\sqrt{2}t - 4 = 0$. Находим дискриминант: $$D = (3\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 9 \cdot 2 + 32 = 18 + 32 = 50$$ Находим корни квадратного уравнения: $$t_{1,2} = \frac{-3\sqrt{2} \pm \sqrt{50}}{2 \cdot 2} = \frac{-3\sqrt{2} \pm 5\sqrt{2}}{4}$$ $$t_1 = \frac{-3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$t_2 = \frac{-3\sqrt{2} - 5\sqrt{2}}{4} = \frac{-8\sqrt{2}}{4} = -2\sqrt{2}$$ Теперь вернемся к замене $t = \cos x$. 1) $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ 2) $\cos x = -2\sqrt{2}$ Так как $-2\sqrt{2} \approx -2 \cdot 1.414 = -2.828$, и значение косинуса должно быть в пределах от -1 до 1, то это уравнение не имеет решений. **Ответ:** $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$ б) Укажем корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$. Рассмотрим $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$. При $n = 0$, $x = \frac{\pi}{4}$ (не принадлежит отрезку). При $n = -1$, $x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi - 8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4}$. Проверим принадлежность отрезку: $-2\pi \le -\frac{7\pi}{4} \le -\frac{\pi}{2}$ $-\frac{8\pi}{4} \le -\frac{7\pi}{4} \le -\frac{2\pi}{4}$ (верно). Рассмотрим $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$. При $n = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$ (не принадлежит отрезку, так как $-0.25 \pi > -0.5 \pi$ неверно). При $n = -1$, $x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{-\pi - 8\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4}$. Проверим принадлежность отрезку: $-2\pi \le -\frac{9\pi}{4} \le -\frac{\pi}{2}$ $-\frac{8\pi}{4} \le -\frac{9\pi}{4}$ (неверно, так как $-2\pi \approx -6.28$, а $-9\pi/4 \approx -7.06$). **Ответ:** $-\frac{7\pi}{4}$