Реши уравнение cos⁴(x/4) - sin⁴(x/4) = sin(x - π/2). Найди все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π].

a) Решим уравнение $\cos^4(\frac{x}{4}) - \sin^4(\frac{x}{4}) = \sin(x - \frac{\pi}{2})$. Используем формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Тогда уравнение можно переписать как: $(\cos^2(\frac{x}{4}) - \sin^2(\frac{x}{4}))(\cos^2(\frac{x}{4}) + \sin^2(\frac{x}{4})) = \sin(x - \frac{\pi}{2})$. Так как $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$, получаем: $\cos^2(\frac{x}{4}) - \sin^2(\frac{x}{4}) = \sin(x - \frac{\pi}{2})$. Используем формулу двойного угла для косинуса: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$. $\cos(\frac{x}{2}) = \sin(x - \frac{\pi}{2})$. $\cos(\frac{x}{2}) = -\cos(x)$. $\cos(x) + \cos(\frac{x}{2}) = 0$. Используем формулу суммы косинусов: $\cos(a) + \cos(b) = 2\cos(\frac{a + b}{2})\cos(\frac{a - b}{2})$. $2\cos(\frac{3x}{4})\cos(\frac{x}{4}) = 0$. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: 1) $\cos(\frac{3x}{4}) = 0$. $\frac{3x}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $x = \frac{4}{3}(\frac{\pi}{2} + \pi n) = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3}n$, где $n \in \mathbb{Z}$. 2) $\cos(\frac{x}{4}) = 0$. $\frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $x = 2\pi + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. б) Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\pi; 5\pi]$. 1) $x = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3}n$. $\pi \le \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3}n \le 5\pi$. $3 \le 2 + 4n \le 15$. $1 \le 4n \le 13$. $\frac{1}{4} \le n \le \frac{13}{4}$. $n = 1, 2, 3$. $x_1 = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = 2\pi$. $x_2 = \frac{2\pi}{3} + \frac{8\pi}{3} = \frac{10\pi}{3}$. $x_3 = \frac{2\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{14\pi}{3}$. 2) $x = 2\pi + 4\pi k$. $\pi \le 2\pi + 4\pi k \le 5\pi$. $1 \le 2 + 4k \le 5$. $-1 \le 4k \le 3$. $-\frac{1}{4} \le k \le \frac{3}{4}$. $k = 0$. $x = 2\pi$. **Ответ:** a) $x = \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3}n$, $x = 2\pi + 4\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$. б) $2\pi, \frac{10\pi}{3}, \frac{14\pi}{3}$