Решите уравнение $\sqrt{2\cos^3 x - \sin^2 x - 2\cos x - \sin x} = \sqrt{\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)}$

**Ответ: а) $x = \pi + 2\pi n, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$** Решим уравнение поэтапно: 1. Преобразуем правую часть по формуле приведения: $$\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$$ 2. Уравнение принимает вид: $$\sqrt{2\cos^3 x - \sin^2 x - 2\cos x - \sin x} = \sqrt{-\sin x}$$ 3. Это уравнение равносильно системе: $$\begin{cases} 2\cos^3 x - \sin^2 x - 2\cos x - \sin x = -\sin x \\ -\sin x \ge 0 \end{cases}$$ 4. Упростим уравнение из системы: $$2\cos^3 x - \sin^2 x - 2\cos x = 0$$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$2\cos^3 x - (1 - \cos^2 x) - 2\cos x = 0$$ $$2\cos^3 x + \cos^2 x - 2\cos x - 1 = 0$$ 5. Разложим на множители методом группировки: $$\cos^2 x(2\cos x + 1) - (2\cos x + 1) = 0$$ $$(2\cos x + 1)(\cos^2 x - 1) = 0$$ $$(2\cos x + 1)(\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0$$ 6. Получаем три корня: - $2\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -\frac{1}{2} \implies x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ - $\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi n$ - $\cos x + 1 = 0 \implies \cos x = -1 \implies x = \pi + 2\pi n$ 7. Проверим условие $-\sin x \ge 0$, то есть $\sin x \le 0$ (это 3-я и 4-я четверти круга): - Для $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ — **не подходит**. - Для $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: $\sin(-\frac{2\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ — **подходит**. - Для $x = 2\pi n$: $\sin(2\pi n) = 0$ — **подходит**. - Для $x = \pi + 2\pi n$: $\sin(\pi) = 0$ — **подходит**. Запишем итоговые серии: $x = \pi + 2\pi n$, $x = 2\pi n$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. Заметим, что точки $2\pi n$ и $\pi + 2\pi n$ можно объединить в $\pi k$, но для части «а» обычно оставляют корни отдельно.