Решите уравнение $\frac{4\cos^3 x - 6\cos x}{\cos \left(2x - \frac{\pi}{2}\right)} = 3$.

а) Решим уравнение: $$\frac{4\cos^3 x - 6\cos x}{\cos \left(2x - \frac{\pi}{2}\right)} = 3$$ Сначала упростим знаменатель, используя формулу приведения: $$\cos \left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \cos \left(-\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \sin(2x)$$ Теперь перепишем уравнение: $$\frac{4\cos^3 x - 6\cos x}{\sin(2x)} = 3$$ Раскроем $\sin(2x)$ как $2\sin x \cos x$: $$\frac{4\cos^3 x - 6\cos x}{2\sin x \cos x} = 3$$ Видим, что $\cos x$ можно вынести за скобки в числителе. Также сократим $2$: $$\frac{2\cos x (2\cos^2 x - 3)}{2\sin x \cos x} = 3$$ Теперь сократим $\cos x$, но помним, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. В этом случае $\sin(2x) = \sin(\pi + 2\pi k) = 0$, что делает знаменатель равным нулю, поэтому $\cos x \neq 0$. Получаем: $$\frac{2\cos^2 x - 3}{\sin x} = 3$$ Заменим $2\cos^2 x$ на $2(1 - \sin^2 x)$: $$\frac{2(1 - \sin^2 x) - 3}{\sin x} = 3$$ $$\frac{2 - 2\sin^2 x - 3}{\sin x} = 3$$ $$\frac{-2\sin^2 x - 1}{\sin x} = 3$$ Перенесем $3\sin x$ в левую часть: $$-2\sin^2 x - 1 = 3\sin x$$ (при условии $\sin x \neq 0$) $$-2\sin^2 x - 3\sin x - 1 = 0$$ Умножим на $-1$: $$2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0$$ Сделаем замену $y = \sin x$. Тогда уравнение примет вид: $$2y^2 + 3y + 1 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$$ $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$$ Вернемся к замене $\sin x = y$: 1. $\sin x = -\frac{1}{2}$ $x = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ Или можно записать двумя сериями решений: $x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ $x_2 = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2\pi k = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2. $\sin x = -1$ $x_3 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ Проверим условия, которые мы наложили: $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$. $\sin x = -\frac{1}{2}$ и $\sin x = -1$ не делают $\sin x = 0$. Если $\sin x = -1$, то $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. В этом случае $\cos x = \cos(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 0$, что нарушает наше условие $\cos x \neq 0$. Значит, корни $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ не подходят. **Ответ к пункту а):** $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. б) Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 4\pi\right]$. Рассмотрим первую серию корней: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$ Для $k=1$: $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$. Этот корень не принадлежит отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 4\pi\right]$, так как $\frac{3\pi}{2} = 1.5\pi = \frac{9\pi}{6}$. Значит, $\frac{11\pi}{6} > \frac{9\pi}{6}$ - это не так, $\frac{11\pi}{6}$ не подходит. Допущение: $1.5\pi$ это $9\pi/6$. $\frac{11\pi}{6}$ это $1.83\pi$. $\frac{3\pi}{2} = 1.5\pi$. $4\pi = 4\pi$. То есть $\frac{11\pi}{6} = 1.83\pi$, а $1.5\pi \leq 1.83\pi \leq 4\pi$. Этот корень подходит. Для $k=2$: $x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}$. Проверим принадлежность отрезку: $\frac{3\pi}{2} = \frac{9\pi}{6}$ и $4\pi = \frac{24\pi}{6}$. $\frac{9\pi}{6} \leq \frac{23\pi}{6} \leq \frac{24\pi}{6}$. Этот корень подходит. Для $k=3$: $x = -\frac{\pi}{6} + 6\pi = \frac{35\pi}{6}$. $\frac{35\pi}{6} > 4\pi = \frac{24\pi}{6}$. Этот корень не подходит. Рассмотрим вторую серию корней: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$ Для $k=0$: $x = \frac{7\pi}{6}$. Этот корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{7\pi}{6} < \frac{9\pi}{6}$. Для $k=1$: $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{19\pi}{6}$. Проверим принадлежность отрезку: $\frac{9\pi}{6} \leq \frac{19\pi}{6} \leq \frac{24\pi}{6}$. Этот корень подходит. Для $k=2$: $x = \frac{7\pi}{6} + 4\pi = \frac{7\pi}{6} + \frac{24\pi}{6} = \frac{31\pi}{6}$. Этот корень не принадлежит отрезку, так как $\frac{31\pi}{6} > \frac{24\pi}{6}$. **Ответ к пункту б):** Корни, принадлежащие отрезку $\left[\frac{3\pi}{2}; 4\pi\right]$: $\frac{11\pi}{6}$, $\frac{19\pi}{6}$, $\frac{23\pi}{6}$.