Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и \angle ABC = 165°. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

1. Окружность с центром в точке $O$ описана около равнобедренного треугольника $ABC$, в котором $AB = BC$ и $\angle ABC = 165^{\circ}$. Найдите угол $BOC$. Ответ дайте в градусах. В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. $$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - \angle ABC}{2} = \frac{180^{\circ} - 165^{\circ}}{2} = \frac{15^{\circ}}{2} = 7.5^{\circ}$$ Угол $BOC$ является центральным углом, опирающимся на дугу $BC$. Вписанный угол $BAC$ опирается на ту же дугу $BC$. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. $$\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 7.5^{\circ} = 15^{\circ}$$ **Ответ:** $15$ 2. В окружности с центром $O$, $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $ACB$ равен $26^{\circ}$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах. Так как $AC$ является диаметром, то треугольник $ABC$ — прямоугольный, и $\angle ABC = 90^{\circ}$ (угол, опирающийся на диаметр). В треугольнике $ABC$ сумма углов равна $180^{\circ}$. $$\angle BAC = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle ACB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 26^{\circ} = 64^{\circ}$$ Угол $AOD$ и угол $BOC$ являются вертикальными, значит, они равны. Угол $BOC$ является центральным углом, опирающимся на дугу $BC$. Угол $BAC$ является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу $BC$. Однако это неверно. Угол $BAC$ опирается на дугу $BC$, но он не вписанный угол для этой дуги. Угол $BOC$ - центральный угол, а $\angle BAC$ - вписанный угол, опирающийся на дугу $BC$. Рассмотрим центральный угол $AOD$. Он опирается на дугу $AD$. В окружности, радиусы $OA = OB = OC = OD$ (радиусы окружности). Треугольник $BOC$ — равнобедренный, так как $OB = OC$ (радиусы). Углы при основании равны: $\angle OBC = \angle OCB = 26^{\circ}$. Тогда $\angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^{\circ} - (26^{\circ} + 26^{\circ}) = 180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$. Углы $AOD$ и $BOC$ являются вертикальными. $$\angle AOD = \angle BOC = 128^{\circ}$$ **Ответ:** $128$ 3. Длина хорды окружности равна $72$, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно $27$. Найдите диаметр окружности. Представим окружность с центром $O$. Пусть хорда $AB$ имеет длину $72$. Расстояние от центра $O$ до хорды $AB$ — это перпендикуляр $OH$, опущенный из центра на хорду. Длина $OH = 27$. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит ее пополам. Значит, $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{72}{2} = 36$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHA$. Гипотенуза $OA$ — это радиус окружности $R$. По теореме Пифагора: $$R^2 = OH^2 + AH^2$$ $$R^2 = 27^2 + 36^2$$ $$R^2 = 729 + 1296$$ $$R^2 = 2025$$ $$R = \sqrt{2025} = 45$$ Диаметр окружности $D = 2R$. $$D = 2 \cdot 45 = 90$$ **Ответ:** $90$ 4. К окружности с центром в точке $O$ проведены касательная $AB$ и секущая $AO$. Найдите радиус окружности, если $AB = 25$, $AO = 65$. Если $AB$ — касательная к окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Пусть $B$ — точка касания, тогда $OB \perp AB$. Следовательно, треугольник $ABO$ (или $OBA$) является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. В этом треугольнике $OB$ — радиус окружности $R$, $AB = 25$ — катет, $AO = 65$ — гипотенуза. По теореме Пифагора: $$AO^2 = AB^2 + OB^2$$ $$65^2 = 25^2 + R^2$$ $$4225 = 625 + R^2$$ $$R^2 = 4225 - 625$$ $$R^2 = 3600$$ $$R = \sqrt{3600} = 60$$ **Ответ:** $60$ 5. Точка $O$ — центр окружности, на которой лежат точки $A$, $B$ и $C$. Известно, что $\angle ABC = 134^{\circ}$ и $\angle OAB = 75^{\circ}$. Найдите угол $BCO$. Ответ дайте в градусах. Точки $A, B, C$ лежат на окружности, центр которой $O$. Значит, $OA = OB = OC = R$ (радиусы). Рассмотрим треугольник $OAB$. Он равнобедренный, так как $OA = OB$. Углы при основании равны. $$\angle OBA = \angle OAB = 75^{\circ}$$ Теперь найдем угол $\angle OBC$. Мы знаем, что $\angle ABC = 134^{\circ}$. $$\angle OBC = \angle ABC - \angle OBA = 134^{\circ} - 75^{\circ} = 59^{\circ}$$ Рассмотрим треугольник $OBC$. Он равнобедренный, так как $OB = OC$. Углы при основании равны. $$\angle BCO = \angle OBC = 59^{\circ}$$ **Ответ:** $59$ 6. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $82^{\circ}$, угол $CAD$ равен $28^{\circ}$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$. Угол $CBD$ также опирается на дугу $CD$. Значит, $\angle CBD = \angle CAD = 28^{\circ}$. Угол $ABC$ состоит из двух углов: $\angle ABD$ и $\angle CBD$. $$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$$ $$\angle ABC = 82^{\circ} + 28^{\circ}$$ $$\angle ABC = 110^{\circ}$$ **Ответ:** $110$