Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

1. **Ответ: 6** Так как $OA = OB$ (как радиусы), $\triangle OAB$ — равнобедренный. По условию $\angle OAB = 60^{\circ}$, значит $\angle OBA = 60^{\circ}$. Тогда $\angle AOB = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 60^{\circ}$. Треугольник равносторонний, следовательно, $R = OA = AB = 6$. 2. **Ответ: 30^{\circ}** $\angle OCD$ и $\angle OAB$ — накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $CD$ (так как $\triangle OAB \cong \triangle OCD$ по двум сторонам и углу между ними: $OA=OD, OB=OC$ как радиусы и вертикальные углы при центре $O$). Но проще: $\triangle OAB$ и $\triangle OCD$ равнобедренные и равные. $\angle OAB = \angle OBA$, $\angle OCD = \angle ODC$. Из равенства треугольников $\angle OAB = \angle OCD = 30^{\circ}$. 3. **Ответ: 36^{\circ}** Вписанный угол $\angle MNP$ опирается на дугу $MP$. Центральный угол $\angle MON$ опирается на ту же дугу. Градусная мера дуги $MP$ в два раза больше вписанного угла: $\cup MP = 2 \cdot \angle MNP = 2 \cdot 18^{\circ} = 36^{\circ}$. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается: $\angle MON = 36^{\circ}$. 4. **Ответ: 71^{\circ}** Вписанный угол $\angle DEF$ опирается на дугу $DF$. Вся окружность $360^{\circ}$. Дуга $\cup DF = 360^{\circ} - (\cup DE + \cup EF) = 360^{\circ} - (150^{\circ} + 68^{\circ}) = 360^{\circ} - 218^{\circ} = 142^{\circ}$. Вписанный угол равен половине дуги: $\angle DEF = 142^{\circ} : 2 = 71^{\circ}$. 5. **Ответ: 42^{\circ}** Угол $\angle AOC = 96^{\circ}$ — центральный, значит $\cup AC = 96^{\circ}$. Так как $BC$ — диаметр, то $\cup BAC = 180^{\circ}$. Тогда $\cup AB = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. Вписанный угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$, значит $\angle ACB = 84^{\circ} : 2 = 42^{\circ}$. 6. **Ответ: 6,5** Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус равен её половине. По теореме Пифагора гипотенуза $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$. Радиус $R = 13 : 2 = 6,5$. 7. **Ответ: 162^{\circ}** Пусть части дуг равны $9x$ и $11x$. Сумма дуг окружности $360^{\circ}$: $9x + 11x = 360 \Rightarrow 20x = 360 \Rightarrow x = 18^{\circ}$. Меньшая дуга равна $9 \cdot 18^{\circ} = 162^{\circ}$. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается, то есть $162^{\circ}$. 8. **Ответ: 55^{\circ}** Угол между касательными равен $180^{\circ} - \cup AB_{min}$. Значит, $\cup AB_{min} = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$. Вписанный угол $\angle ACB$ опирается на эту дугу, значит он равен её половине: $110^{\circ} : 2 = 55^{\circ}$. 9. **Ответ: 35^{\circ}** $\angle AOD = 110^{\circ}$. Смежный с ним $\angle AOB = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$. Вписанный угол $\angle ACB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный угол $\angle AOB$. Значит, $\angle ACB = 70^{\circ} : 2 = 35^{\circ}$.