В треугольнике ABC известно, что AB = BC, AC = 8, tg BAC = √5/2. Найдите длину стороны AB.

**12.** В равнобедренном треугольнике $ABC$ (так как $AB = BC$) проведём высоту $BH$ к стороне $AC$. Высота $BH$ также является медианой, поэтому $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. У нас есть $\text{tg}\angle BAC = \frac{\sqrt{5}}{2}$. В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: $$\text{tg}\angle BAC = \frac{BH}{AH}$$ $$\frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{BH}{4}$$ Отсюда найдём $BH$: $$BH = 4 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}$$ Теперь, зная катеты $AH = 4$ и $BH = 2\sqrt{5}$, можем найти гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$ $$AB^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2$$ $$AB^2 = 16 + (4 \cdot 5)$$ $$AB^2 = 16 + 20$$ $$AB^2 = 36$$ $$AB = \sqrt{36}$$ $$AB = 6$$ **Ответ:** 6 **13.** 1. Сначала найдём второй катет прямоугольного треугольника в основании призмы. Пусть катеты будут $a$ и $b$, а гипотенуза $c$. Известно, что $a=3$ и $c=\sqrt{34}$. По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$ $$3^2 + b^2 = (\sqrt{34})^2$$ $$9 + b^2 = 34$$ $$b^2 = 34 - 9$$ $$b^2 = 25$$ $$b = \sqrt{25}$$ $$b = 5$$ Второй катет равен 5. 2. Теперь найдём площадь основания призмы ($S_{осн}$). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$ $$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5$$ $$S_{осн} = \frac{15}{2} = 7,5$$ 3. Объём призмы ($V$) равен произведению площади основания на высоту ($H$). Высота призмы $H=6$. $$V = S_{осн} \cdot H$$ $$V = 7,5 \cdot 6$$ $$V = 45$$ **Ответ:** 45 **14.** Сначала выполним вычитание в числителе: $$2,6 - 2,6 = 0$$ Затем разделим результат на знаменатель: $$\frac{0}{7,8} = 0$$ **Ответ:** 0 **15.** 1. Книга стоит 230 рублей. 2. Держатель дисконтной карты получает скидку 10%. 3. Найдём размер скидки в рублях: $$230 \cdot 0,10 = 23 \text{ рубля}$$ 4. Найдём, сколько заплатит держатель карты: $$230 - 23 = 207 \text{ рублей}$$ **Ответ:** 207