14. В 7:00 часы сломались и за каждый следующий час отставали на одно и то же количество минут по сравнению с предыдущим часом. В 22:00 того же дня часы отставали на час. На сколько минут отставали часы спустя 17 часов после того, как они сломались?

Пусть часы в первый час после поломки отстали на $x$ минут. Тогда в следующий час они отстают на $(x+d)$ минут, затем на $(x+2d)$ и так далее. Это арифметическая прогрессия. 1. Время, прошедшее с 7:00 до 22:00: $22 - 7 = 15$ часов. 2. В 22:00 часы отстали суммарно на 1 час (60 минут). Сумма членов арифметической прогрессии за 15 часов равна 60: $S_{15} = \frac{2a_1 + (15-1)d}{2} \cdot 15 = 60$ $\frac{2a_1 + 14d}{2} \cdot 15 = 60$ $(a_1 + 7d) \cdot 15 = 60$ $a_1 + 7d = 4$ Это означает, что средний член прогрессии (8-й час) равен 4 минуты. 3. Нам нужно найти отставание спустя 17 часов после того, как они сломались. Это сумма 17 членов арифметической прогрессии: $S_{17} = \frac{2a_1 + 16d}{2} \cdot 17 = (a_1 + 8d) \cdot 17$ Мы знаем, что $a_1 + 7d = 4$, откуда $a_1 = 4 - 7d$. Подставим это в выражение для $S_{17}$: $S_{17} = (4 - 7d + 8d) \cdot 17 = (4 + d) \cdot 17 = 68 + 17d$ Однако в задаче сказано: "за каждый следующий час отставали на одно и то же количество минут по сравнению с предыдущим часом". Это означает, что приращение отставания каждый час постоянно. Пусть $a_n$ — величина, на которую часы отстали именно в $n$-й час. Тогда $a_n = a_1 + (n-1)d$. В 22:00 (спустя 15 часов) часы отстают на 60 минут *в сумме*. Но в условии фраза "за каждый следующий час отставали на одно и то же количество минут..." обычно в школьных задачах такого типа трактуется как прогрессия самой величины отставания. Если же предположить, что часы отстают равномерно с ускорением, то решение выше верно. Если предположить, что в каждый час $k$ они отстают на $k \cdot d$ минут, то: Сумма отставаний за 15 часов: $d + 2d + ... + 15d = d \cdot \frac{15 \cdot 16}{2} = 120d = 60 \implies d = 0.5$. Тогда за 17 часов суммарное отставание: $S_{17} = d \cdot \frac{17 \cdot 18}{2} = 0.5 \cdot 153 = 76.5$ минут. Ответ: 76.5 минут.