Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 9.8). Найдите угол между прямыми $AB$ и $BB_1$

1) Даны две прямые. Если прямые параллельны, то угол между ними $0^\circ$. Если прямые перпендикулярны, то угол между ними $90^\circ$. Если прямые скрещивающиеся, нужно найти угол между одной из прямых и проекцией другой прямой на плоскость, проходящую через первую прямую. 3) Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 9.8). Найдите угол между прямыми: 1) $AB$ и $BB_1$: Прямые $AB$ и $BB_1$ перпендикулярны, так как они являются рёбрами куба, выходящими из одной вершины. Угол между ними $90^\circ$. 2) $AB$ и $B_1D_1$: Прямая $AB$ параллельна прямой $A_1B_1$. $B_1D_1$ — диагональ грани $A_1B_1C_1D_1$. Угол между $AB$ и $B_1D_1$ равен углу между $A_1B_1$ и $B_1D_1$, то есть углу $\angle A_1B_1D_1$. В квадрате $A_1B_1C_1D_1$ диагональ $B_1D_1$ образует со сторонами углы по $45^\circ$. Значит, угол между $AB$ и $B_1D_1$ равен $45^\circ$. 3) $A A_1$ и $B_1C$: Прямая $AA_1$ параллельна прямой $BB_1$. Тогда угол между $AA_1$ и $B_1C$ равен углу между $BB_1$ и $B_1C$, то есть углу $\angle BB_1C$. В квадрате $BB_1C_1C$ диагональ $B_1C$ образует со сторонами углы по $45^\circ$. Значит, угол между $AA_1$ и $B_1C$ равен $45^\circ$. 4) $B_1D$ и $C_1C$: Прямая $C_1C$ параллельна прямой $BB_1$. Угол между $B_1D$ и $C_1C$ равен углу между $B_1D$ и $BB_1$, то есть углу $\angle DB_1B$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DB_1B$. $BB_1 = a$, $BD = a\sqrt{2}$. Тогда $\mathrm{tg}(\angle DB_1B) = \frac{BD}{BB_1} = \frac{a\sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}$. Значит, $\angle DB_1B = \mathrm{arctg}(\sqrt{2})$. 5) $A_1C_1$ и $AC$: Прямая $A_1C_1$ параллельна прямой $AC$. Угол между параллельными прямыми равен $0^\circ$.