Найди угол между прямыми $AB$ и $BB_1$; $AB$ и $B_1D_1$; $A_1D$ и $B_1C$; $B_1D_1$ и $C_1C$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. Прямые $AB$ и $BB_1$ пересекаются в точке $B$ и являются перпендикулярными рёбрами куба. Угол между ними равен $90^\circ$. 2. Прямые $AB$ и $B_1D_1$ скрещивающиеся. Чтобы найти угол между ними, перенесем прямую $B_1D_1$ параллельно самой себе так, чтобы она пересекала прямую $AB$. Прямая $BD$ параллельна $B_1D_1$. Угол между $AB$ и $BD$ — это угол $ABD$. Треугольник $ABD$ — прямоугольный ($AD$ перпендикулярна $AB$) и равнобедренный ($AB = AD$, так как это грани куба). Значит, угол $ABD$ равен $45^\circ$. 3. Прямые $A_1D$ и $B_1C$ являются диагоналями граней куба. Прямая $B_1C$ параллельна $A_1D_1$ (так как $A_1B_1C_1D_1$ — квадрат). Рассмотрим грань $A_1ADD_1$. Прямая $A_1D$ — это диагональ этой грани. Прямая $B_1C$ параллельна прямой $AD$ (так как $ABCD$ — квадрат). Угол между $A_1D$ и $AD$ равен $45^\circ$, так как $A_1ADD_1$ — квадрат, и $A_1D$ — его диагональ. Прямые $A_1D$ и $B_1C$ скрещиваются. Перенесем $B_1C$ в $AD$. Тогда угол между $A_1D$ и $AD$ равен $45^\circ$. 4. Прямые $B_1D_1$ и $C_1C$ скрещивающиеся. Прямая $C_1C$ перпендикулярна плоскости $A_1B_1C_1D_1$. Прямая $B_1D_1$ лежит в этой плоскости. Значит, прямая $C_1C$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и $B_1D_1$. Следовательно, угол между ними $90^\circ$.