Сколько в пространстве можно провести прямых, перпендикулярных данной прямой, через точку: 1) принадлежащую данной прямой; 2) не принадлежащую данной прямой?

**8.1.** 1. Через данную точку, принадлежащую данной прямой, можно провести бесконечное множество перпендикулярных прямых. 2. Через данную точку, не принадлежащую данной прямой, можно провести только одну перпендикулярную прямую. **8.2.** 1. $CD$ и $BC_1$ Прямая $CD$ параллельна $AB$. Угол между $AB$ и $BC_1$ равен углу между $AB$ и $B_1C_1$, так как $BC_1$ — диагональ грани $BB_1C_1C$. В кубе все грани квадраты, поэтому $AB ?ot BB_1$. Угол между $AB$ и $BC_1$ — это угол между прямой и плоскостью, если $BC_1$ спроецировать на плоскость $ABCD$. Но проще найти угол между $AB$ и $B_1C_1$. В квадрате $ABB_1A_1$ диагональ $AB_1$ образует с $AB$ угол $45^ ext{o}$. Если рассмотреть треугольник $BCC_1$, то $BC=CC_1$. $BC_1$ - диагональ. Проекция $BC_1$ на плоскость $ABCD$ - это $BC$. $CD ?ot BC$. Значит, $CD ?ot$ плоскости $BCC_1$. Поэтому $CD ?ot BC_1$. **Ответ: $90^ ext{o}$** 2. $AA_1$ и $CD_1$ Прямая $AA_1$ параллельна $CC_1$. Найдем угол между $CC_1$ и $CD_1$. В квадрате $CDD_1C_1$ диагональ $CD_1$ образует с $CC_1$ угол $45^ ext{o}$. **Ответ: $45^ ext{o}$** 3. $AA_1$ и $D_1C_1$ Прямая $AA_1$ параллельна $DD_1$. Найдем угол между $DD_1$ и $D_1C_1$. Прямые $DD_1$ и $D_1C_1$ перпендикулярны, так как $CDD_1C_1$ — квадрат. Угол между ними $90^ ext{o}$. **Ответ: $90^ ext{o}$** 4. $AC$ и $B_1D_1$ Прямая $B_1D_1$ параллельна $BD$. Найдем угол между $AC$ и $BD$. В основании $ABCD$ квадрат, его диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны. Угол между ними $90^ ext{o}$. **Ответ: $90^ ext{o}$** 5. $A_1C$ и $AC$ Это диагонали прямоугольника $ACC_1A_1$. Угол между $A_1C$ и $AC$ равен углу $\angle C_1AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1C$. Пусть сторона куба $a$. Тогда $AC = a\sqrt{2}$, $AA_1 = a$. $\text{tg} (\angle A_1CA) = \frac{AA_1}{AC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $\angle A_1CA = \text{arctg} (\frac{\sqrt{2}}{2})$. **Ответ: $\text{arctg} (\frac{\sqrt{2}}{2})$** **8.3.** 1. $AB$ и $BB_1$ Эти прямые перпендикулярны, так как $ABB_1A_1$ — грань куба, которая является квадратом. Угол между ними $90^ ext{o}$. **Ответ: $90^ ext{o}$** 2. $AB$ и $B_1D_1$ Прямая $AB$ параллельна $A_1B_1$. Найдем угол между $A_1B_1$ и $B_1D_1$. Это стороны квадрата $A_1B_1C_1D_1$. Угол $\angle A_1B_1D_1 = 45^ ext{o}$. **Ответ: $45^ ext{o}$** 3. $AA_1$ и $D_1C_1$ Прямая $AA_1$ параллельна $DD_1$. Прямая $D_1C_1$ параллельна $DC$. Эти прямые $DD_1$ и $DC$ перпендикулярны, так как $CDD_1C_1$ — грань куба. Угол между ними $90^ ext{o}$. **Ответ: $90^ ext{o}$** 4. $B_1D_1$ и $CC_1$ Прямая $B_1D_1$ параллельна $BD$. Прямая $CC_1$ параллельна $DD_1$. Найдем угол между $BD$ и $DD_1$. В прямоугольном параллелепипеде $BDD_1B_1$ эти прямые перпендикулярны. Угол между ними $90^ ext{o}$. **Ответ: $90^ ext{o}$** **8.4.** Точка $M$ не принадлежит плоскости прямоугольника $ABCD$. Треугольник $CMD$ равносторонний (рис. 8.9). Найдите угол между прямыми $AB$ и $MC$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, $AB$ параллельна $DC$. Мы ищем угол между $AB$ и $MC$. Это то же самое, что угол между $DC$ и $MC$. Так как треугольник $CMD$ равносторонний, все его углы равны $60^ ext{o}$. Следовательно, $\angle DCM = 60^ ext{o}$. **Ответ: $60^ ext{o}$** **8.5.** Точка $M$ не принадлежит плоскости квадрата $ABCD$, $\angle MBA = 40^ ext{o}$, $\angle MBC = 90^ ext{o}$. Найдите угол между прямыми: 1. $MB$ и $AD$ Так как $ABCD$ — квадрат, $AD$ параллельна $BC$. Угол между $MB$ и $AD$ равен углу между $MB$ и $BC$. Нам дано, что $\angle MBC = 90^ ext{o}$. **Ответ: $90^ ext{o}$** 2. $MB$ и $CD$ Так как $ABCD$ — квадрат, $CD$ параллельна $AB$. Угол между $MB$ и $CD$ равен углу между $MB$ и $AB$. Нам дано, что $\angle MBA = 40^ ext{o}$. **Ответ: $40^ ext{o}$**