Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $BD_1$ и $DC_1$.

**Ответ: 90^{\circ}** Для решения этой задачи воспользуемся методом координат. Пусть ребро куба равно $1$. Расположим куб в системе координат так, что вершина $D$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$. Тогда координаты интересующих нас точек будут: $D(0; 0; 0)$ $B(1; 1; 0)$ $D_1(0; 0; 1)$ $C_1(0; 1; 1)$ 1. Найдем координаты направляющих векторов для прямых $BD_1$ и $DC_1$: $$\vec{BD_1} = (0 - 1; 0 - 1; 1 - 0) = (-1; -1; 1)$$ $$\vec{DC_1} = (0 - 0; 1 - 0; 1 - 0) = (0; 1; 1)$$ 2. Чтобы найти угол между прямыми, вычислим скалярное произведение векторов: $$\vec{BD_1} \cdot \vec{DC_1} = (-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 - 1 + 1 = 0$$ 3. Так как скалярное произведение векторов равно нулю, векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между прямыми равен $90^{\circ}$.