Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найди угол между прямыми $CD$ и $BC$.

1. Прямые $CD$ и $BC$ лежат в одной грани куба $ABCD$. Они перпендикулярны друг другу. **Ответ: $90^\circ$** 2. Прямая $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания $A_1B_1C_1D_1$, в которой лежит прямая $C_1D_1$. Поэтому $AA_1$ перпендикулярна $C_1D_1$. **Ответ: $90^\circ$** 3. Прямая $AA_1$ параллельна прямой $DD_1$. Угол между $AA_1$ и $D_1C$ равен углу между $DD_1$ и $D_1C$. Так как $D_1C_1CD$ — это квадрат (грань куба), то $DD_1$ перпендикулярна $D_1C_1$. Таким образом, угол между $DD_1$ и $D_1C$ является углом между ребром куба и его диагональю грани. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DD_1C_1$. Угол $CD_1D$ — это искомый угол. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета $CD_1$ к прилежащему катету $DD_1$. Так как $DD_1 = D_1C_1$ (стороны квадрата), то $\tan(\angle CD_1D) = \frac{D_1C_1}{DD_1} = 1$. Значит, угол равен $45^\circ$. **Ответ: $45^\circ$** 4. Прямая $AC$ лежит в нижней грани $ABCD$, а прямая $B_1D_1$ лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Прямые $AC$ и $B_1D_1$ скрещивающиеся. Чтобы найти угол между ними, переместим одну из прямых так, чтобы они пересекались. Прямая $BD$ параллельна $B_1D_1$. Таким образом, угол между $AC$ и $B_1D_1$ равен углу между $AC$ и $BD$. Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу. Поэтому угол между $AC$ и $BD$ равен $90^\circ$. **Ответ: $90^\circ$** 5. Прямые $A_1C_1$ и $AC$ — это диагонали параллельных граней $A_1B_1C_1D_1$ и $ABCD$. Они параллельны друг другу. Угол между параллельными прямыми равен $0^\circ$. **Ответ: $0^\circ$**