Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найди угол между прямыми $AB$ и $BB_1$; $AB$ и $B_1D_1$; $A_1D$ и $B_1C$; $B_1D_1$ и $C_1C$.

1) Прямые $AB$ и $BB_1$ пересекаются в точке $B$ и являются смежными рёбрами куба. Так как все грани куба — квадраты, то смежные рёбра перпендикулярны. **Ответ: $90^\circ$** 2) Прямая $AB$ лежит в плоскости основания $ABCD$. Прямая $B_1D_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$. Так как в кубе противоположные грани параллельны, то прямая $B_1D_1$ параллельна прямой $BD$. Угол между прямыми $AB$ и $B_1D_1$ равен углу между прямыми $AB$ и $BD$. В квадрате $ABCD$ диагональ $BD$ делит угол $ABC$ пополам. Угол $ABC$ равен $90^\circ$, значит, угол $ABD$ равен $45^\circ$. **Ответ: $45^\circ$** 3) Прямая $A_1D$ — это диагональ грани $ADD_1A_1$. Прямая $B_1C$ — это диагональ грани $BCC_1B_1$. Эти грани параллельны, поэтому прямые $A_1D$ и $B_1C$ параллельны. Угол между параллельными прямыми равен $0^\circ$. **Ответ: $0^\circ$** 4) Прямая $B_1D_1$ — это диагональ верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Прямая $C_1C$ — это боковое ребро. Боковое ребро $C_1C$ перпендикулярно плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Значит, прямая $C_1C$ перпендикулярна прямой $B_1D_1$. **Ответ: $90^\circ$**