Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми: 1) $AB$ и $BB_1$; 2) $AB$ и $B_1D_1$; 3) $A_1D$ и $B_1C$; 4) $B_1D_1$ и $C_1C$.

**Ответ:** 1) $90^{\circ}$ 2) $45^{\circ}$ 3) $0^{\circ}$ (прямые параллельны) 4) $90^{\circ}$ **Решение:** В кубе все грани — квадраты, а ребра, выходящие из одной вершины, перпендикулярны. 1) Прямые $AB$ и $BB_1$ пересекаются в точке $B$. Так как $ABB_1A_1$ — квадрат, угол между его сторонами равен $90^{\circ}$. 2) Прямая $B_1D_1$ лежит в плоскости верхней грани. Проведем прямую $BD$, параллельную $B_1D_1$, в плоскости нижней грани. Угол между $AB$ и $B_1D_1$ равен углу между $AB$ и $BD$. В квадрате $ABCD$ диагональ $BD$ является биссектрисой угла $ABC$, значит, угол равен $45^{\circ}$. 3) Проведем прямую $BC_1$, которая параллельна $A_1D$ (это диагонали противоположных параллельных граней). Прямые $B_1C$ и $BC_1$ лежат в одной плоскости (грани $BCC_1B_1$), но по условию $A_1D \parallel B_1C$ — это неверно, они скрещиваются. Однако, если рассмотреть векторы или проекции, диагонали $A_1D$ и $B_1C$ параллельны друг другу как диагонали параллельных граней, ориентированные одинаково. Следовательно, угол между ними $0^{\circ}$. 4) Прямая $C_1C$ перпендикулярна плоскости верхней грани $A_1B_1C_1D_1$. Так как прямая $B_1D_1$ лежит в этой плоскости, то $C_1C \perp B_1D_1$. Угол равен $90^{\circ}$.