Решите уравнение $\log_{\sqrt{3}}(x-2) \log_5 x = 2 \log_3(x-2)$

$Решите уравнение $\log_{\sqrt{3}}(x-2) \log_5 x = 2 \log_3(x-2)$$

Фотография

Ответ ассистента

1. Преобразуем $\log_{\sqrt{3}}(x-2)$ и $2\log_3(x-2)$: $$\log_{\sqrt{3}}(x-2) = \log_{3^{1/2}}(x-2) = \frac{1}{1/2}\log_3(x-2) = 2\log_3(x-2)$$ Тогда уравнение примет вид: $$2\log_3(x-2) \cdot \log_5 x = 2\log_3(x-2)$$ 2. Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки: $$2\log_3(x-2) \cdot \log_5 x - 2\log_3(x-2) = 0$$ $$2\log_3(x-2)(\log_5 x - 1) = 0$$ 3. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: а) $2\log_3(x-2) = 0 \Rightarrow \log_3(x-2) = 0 \Rightarrow x-2 = 3^0 \Rightarrow x-2 = 1 \Rightarrow x = 3$ б) $\log_5 x - 1 = 0 \Rightarrow \log_5 x = 1 \Rightarrow x = 5^1 \Rightarrow x = 5$ 4. Проверим область допустимых значений (ОДЗ) для исходного уравнения. Для логарифмов выражения под знаком логарифма должны быть положительными: а) $x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$ б) $x > 0$ Объединяя условия, получаем $x > 2$. Оба найденных корня $x=3$ и $x=5$ удовлетворяют условию $x > 2$. **Ответ:** $x_1 = 3, x_2 = 5$

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи

Решите уравнение $\log_{\sqrt{3}}(x-2) \log_5 x = 2 \log_3(x-2)$

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения