Реши уравнение $\log_{5} x \cdot \log_{3} x = \log_{5} 3$

Question

Вопрос:

Реши уравнение $\log_{5} x \cdot \log_{3} x = \log_{5} 3$

$Реши уравнение $\log_{5} x \cdot \log_{3} x = \log_{5} 3$$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Допущение: Основания логарифмов равны 5 и 3. В задании требуется решить уравнение. 4) $\log_{5} x \cdot \log_{3} x = \log_{5} 3$ Для начала, область допустимых значений (ОДЗ) для $x$: $x > 0$. Применим формулу перехода к новому основанию: $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$. Переведем все логарифмы к натуральному логарифму (основание $e$) или к основанию 10. Давай перейдем к основанию $e$ (это будет $\ln$): $$\frac{\ln x}{\ln 5} \cdot \frac{\ln x}{\ln 3} = \frac{\ln 3}{\ln 5}$$ Умножим обе части уравнения на $(\ln 5 \cdot \ln 3)$: $$(\ln x)^2 = \ln 3 \cdot \frac{\ln 3}{\ln 5} \cdot \ln 5$$ $$(\ln x)^2 = (\ln 3)^2$$ Извлечем квадратный корень из обеих частей: $$\ln x = \pm \ln 3$$ Получаем два возможных случая: 1) $\ln x = \ln 3$ Отсюда: $$x = 3$$ 2) $\ln x = -\ln 3$ Используем свойство логарифмов $a \ln b = \ln b^a$: $$\ln x = \ln (3^{-1})$$ $$\ln x = \ln \left(\frac{1}{3}\right)$$ Отсюда: $$x = \frac{1}{3}$$ Оба значения $x = 3$ и $x = \frac{1}{3}$ удовлетворяют условию ОДЗ $x > 0$. **Ответ:** $x = 3$, $x = \frac{1}{3}$

Реши уравнение $\log_{5} x \cdot \log_{3} x = \log_{5} 3$

Ответ ассистента

Другие решения