Реши уравнение $2 \log_{5} x + \log_{\sqrt{x}} x - \log_{\frac{x}{5}} x = 4$.

Решим уравнение: $2 \log_{5} x + \log_{\sqrt{x}} x - \log_{\frac{x}{5}} x = 4$ 1. Преобразуем $\log_{\sqrt{x}} x$: $\log_{\sqrt{x}} x = \frac{\log_x x}{\log_x \sqrt{x}} = \frac{1}{\frac{1}{2} \log_x x} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$. 2. Преобразуем $\log_{\frac{x}{5}} x$: $\log_{\frac{x}{5}} x = \frac{\log_5 x}{\log_5 \frac{x}{5}} = \frac{\log_5 x}{\log_5 x - \log_5 5} = \frac{\log_5 x}{\log_5 x - 1}$. 3. Подставим преобразованные логарифмы в исходное уравнение: $2 \log_5 x + 2 - \frac{\log_5 x}{\log_5 x - 1} = 4$. 4. Пусть $y = \log_5 x$. Тогда уравнение примет вид: $2y + 2 - \frac{y}{y - 1} = 4$. 5. Решим уравнение относительно $y$: $2y - 2 = \frac{y}{y - 1}$; $(2y - 2)(y - 1) = y$; $2y^2 - 2y - 2y + 2 = y$; $2y^2 - 5y + 2 = 0$. 6. Найдем корни квадратного уравнения: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$; $y_1 = \frac{5 + 3}{4} = 2$; $y_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$. 7. Найдем соответствующие значения $x$: * Если $y = 2$, то $\log_5 x = 2$, следовательно, $x = 5^2 = 25$. * Если $y = \frac{1}{2}$, то $\log_5 x = \frac{1}{2}$, следовательно, $x = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$. 8. Проверим найденные значения $x$: * $x = 25$: $2 \log_5 25 + \log_{\sqrt{25}} 25 - \log_{\frac{25}{5}} 25 = 2 \cdot 2 + \log_5 25 - \log_5 25 = 4 + 2 - 2 = 4$. * $x = \sqrt{5}$: $2 \log_5 \sqrt{5} + \log_{\sqrt{\sqrt{5}}} \sqrt{5} - \log_{\frac{\sqrt{5}}{5}} \sqrt{5} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{\log_5 \sqrt{5}}{\log_5 \sqrt{\sqrt{5}}} - \frac{\log_5 \sqrt{5}}{\log_5 \frac{\sqrt{5}}{5}} = 1 + 2 - \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2} - 1} = 1 + 2 - \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}} = 1 + 2 + 1 = 4$. **Ответ: $x = 25$, $x = \sqrt{5}$**