Реши уравнение $log_5 x \cdot log_3 x = \frac{1}{9}$.

Question

Вопрос:

Реши уравнение $log_5 x \cdot log_3 x = \frac{1}{9}$.

$Реши уравнение $log_5 x \cdot log_3 x = \frac{1}{9}$.$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Допущение: между $log_5 x$ и $log_3 x$ стоит знак умножения. Используем формулу перехода к новому основанию логарифма: $log_b a = \frac{log_c a}{log_c b}$. Переведём оба логарифма к основанию 10 (или любому другому, например, натуральному логарифму $ln$): $$log_5 x = \frac{lg x}{lg 5}$$ $$log_3 x = \frac{lg x}{lg 3}$$ Тогда исходное уравнение можно переписать так: $$\frac{lg x}{lg 5} \cdot \frac{lg x}{lg 3} = \frac{1}{9}$$ $$ (lg x)^2 = \frac{lg 5 \cdot lg 3}{9} $$ Извлекаем квадратный корень из обеих частей: $$ lg x = \pm \sqrt{\frac{lg 5 \cdot lg 3}{9}} $$ $$ lg x = \pm \frac{1}{3} \sqrt{lg 5 \cdot lg 3} $$ Теперь используем определение логарифма: если $lg x = a$, то $x = 10^a$. Случай 1: $lg x = \frac{1}{3} \sqrt{lg 5 \cdot lg 3}$ $$ x_1 = 10^{\frac{1}{3} \sqrt{lg 5 \cdot lg 3}} $$ Случай 2: $lg x = -\frac{1}{3} \sqrt{lg 5 \cdot lg 3}$ $$ x_2 = 10^{-\frac{1}{3} \sqrt{lg 5 \cdot lg 3}} $$ **Ответ:** $x = 10^{\pm \frac{1}{3} \sqrt{lg 5 \cdot lg 3}}$

Реши уравнение $log_5 x \cdot log_3 x = \frac{1}{9}$.

Ответ ассистента

Другие решения