Реши логарифмическое уравнение \log_5 x \cdot \log_3 x = \log_{15} 3

$Реши логарифмическое уравнение \log_5 x \cdot \log_3 x = \log_{15} 3$

Фотография

Ответ ассистента

Допущение: основание логарифма на первой картинке — 5, на второй — 3. $$ \log_5 x \cdot \log_3 x = \log_{15} 3 $$ Для решения этого уравнения используем формулу перехода к новому основанию: $$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$ Выберем новое основание 10. Тогда: $$ \frac{\lg x}{\lg 5} \cdot \frac{\lg x}{\lg 3} = \frac{\lg 3}{\lg 15} $$ $$ (\lg x)^2 = \frac{\lg 3 \cdot \lg 5 \cdot \lg 3}{\lg 15} $$ Поскольку $$\lg 15 = \lg (3 \cdot 5) = \lg 3 + \lg 5$$, получаем: $$ (\lg x)^2 = \frac{(\lg 3)^2 \cdot \lg 5}{\lg 3 + \lg 5} $$ Проверим, если $$\lg x = \frac{\lg 3 \cdot \sqrt{\lg 5}}{\sqrt{\lg 3 + \lg 5}}$$ или $$\lg x = -\frac{\lg 3 \cdot \sqrt{\lg 5}}{\sqrt{\lg 3 + \lg 5}}$$ **Ответ:** $$\lg x = \pm \frac{\lg 3 \cdot \sqrt{\lg 5}}{\sqrt{\lg 3 + \lg 5}}$$

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи