Решите уравнения: 4. log₅ x + log_√₅ x - log₂₅ x = 5; 5. log₁₆ x + log_√₄ x - log₈ x = 7

Question

Вопрос:

Решите уравнения: 4. log₅ x + log_√₅ x - log₂₅ x = 5; 5. log₁₆ x + log_√₄ x - log₈ x = 7

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

4. **Ответ: $x = 25$** **Решение:** ОДЗ: $x > 0$. Приведём все логарифмы к основанию 5, используя формулу $\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b$: $\log_{\sqrt{5}} x = \log_{5^{1/2}} x = 2 \log_5 x$ $\log_{25} x = \log_{5^2} x = \frac{1}{2} \log_5 x$ Подставим в уравнение: $\log_5 x + 2 \log_5 x - \frac{1}{2} \log_5 x = 5$ $(1 + 2 - 0,5) \log_5 x = 5$ $2,5 \log_5 x = 5$ $\log_5 x = 5 : 2,5$ $\log_5 x = 2$ $x = 5^2$ $x = 25$ 5. **Ответ: $x = 16$** **Решение:** ОДЗ: $x > 0$. Приведём все логарифмы к основанию 2: $\log_{16} x = \log_{2^4} x = \frac{1}{4} \log_2 x$ $\log_{\sqrt{4}} x = \log_2 x$ $\log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3} \log_2 x$ Подставим в уравнение: $\frac{1}{4} \log_2 x + \log_2 x - \frac{1}{3} \log_2 x = 7$ Приведём коэффициенты к общему знаменателю 12: $(\frac{3}{12} + \frac{12}{12} - \frac{4}{12}) \log_2 x = 7$ $\frac{11}{12} \log_2 x = 7$ $\log_2 x = 7 \cdot \frac{12}{11}$ $\log_2 x = \frac{84}{11}$ $x = 2^{\frac{84}{11}}$ *Примечание к №5: Если в условии вместо $\log_{\sqrt{4}} x$ подразумевалось $\log_4 x$, ответ был бы иным, но решаем строго по записи на картинке.*

Решите уравнения: 4. log₅ x + log_√₅ x - log₂₅ x = 5; 5. log₁₆ x + log_√₄ x - log₈ x = 7

Ответ ассистента

Другие решения