Реши уравнение $sin^2 x + sin x - 2 = 0$ и найди все корни, принадлежащие промежутку $[0; 2\pi]$

1В. а) Реши уравнение $sin^2 x + sin x - 2 = 0$ Пусть $t = \sin x$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 + t - 2 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$ $$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ $$t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$t_2 = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$ Вернемся к замене: 1) $\sin x = 1$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$$ 2) $\sin x = -2$ Это уравнение не имеет решений, так как $-1 \le \sin x \le 1$. **Ответ к 1В. а):** $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$ б) Найди все корни, принадлежащие промежутку $[0; 2\pi]$. Рассмотрим общее решение $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Подставим различные целые значения для $n$: Если $n = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Это значение принадлежит промежутку $[0; 2\pi]$. Если $n = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2}$. Это значение не принадлежит промежутку $[0; 2\pi]$. Если $n = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$. Это значение не принадлежит промежутку $[0; 2\pi]$. Единственный корень, принадлежащий промежутку $[0; 2\pi]$, это $\frac{\pi}{2}$. **Ответ к 1В. б):** $\frac{\pi}{2}$ 2В. а) Реши уравнение $2cos^2\frac{x}{2} + cos\frac{x}{2} - 1 = 0$ Пусть $t = \cos\frac{x}{2}$. Тогда уравнение примет вид: $$2t^2 + t - 1 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$ $$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 3}{4}$$ $$t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ Вернемся к замене: 1) $\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{2}$ $$\frac{x}{2} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$$ $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi k, k \in Z$$ 2) $\cos\frac{x}{2} = -1$ $$\frac{x}{2} = \pi + 2\pi k, k \in Z$$ $$x = 2\pi + 4\pi k, k \in Z$$ **Ответ к 2В. а):** $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 4\pi k, k \in Z$; $x = 2\pi + 4\pi k, k \in Z$ б) Найди все корни, принадлежащие промежутку $[-\pi; \pi]$. Рассмотрим первое общее решение $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi k$: Если $k = 0$, $x = \frac{2\pi}{3}$. Это значение принадлежит промежутку $[-\pi; \pi]$. При других $k$ значения выходят за пределы промежутка. Рассмотрим второе общее решение $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi k$: Если $k = 0$, $x = -\frac{2\pi}{3}$. Это значение принадлежит промежутку $[-\pi; \pi]$. При других $k$ значения выходят за пределы промежутка. Рассмотрим третье общее решение $x = 2\pi + 4\pi k$: Если $k = 0$, $x = 2\pi$. Это значение не принадлежит промежутку $[-\pi; \pi]$. При других $k$ значения выходят за пределы промежутка. Корни, принадлежащие промежутку $[-\pi; \pi]$, это $\frac{2\pi}{3}$ и $-\frac{2\pi}{3}$. **Ответ к 2В. б):** $\frac{2\pi}{3}$, $-\frac{2\pi}{3}$ 3В. а) Реши уравнение $tg^2 x + 5tg x - 6 = 0$ Пусть $t = \text{tg } x$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 + 5t - 6 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$$ $$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 7}{2}$$ $$t_1 = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$t_2 = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$ Вернемся к замене: 1) $\text{tg } x = 1$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$$ 2) $\text{tg } x = -6$ $$x = \text{arctg}(-6) + \pi n, n \in Z$$ **Ответ к 3В. а):** $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$; $x = \text{arctg}(-6) + \pi n, n \in Z$ б) Найди все корни, принадлежащие промежутку $[0; \pi]$. Рассмотрим первое общее решение $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$: Если $n = 0$, $x = \frac{\pi}{4}$. Это значение принадлежит промежутку $[0; \pi]$. При других $n$ значения выходят за пределы промежутка. Рассмотрим второе общее решение $x = \text{arctg}(-6) + \pi n$: Заметим, что $\text{arctg}(-6)$ — это угол в IV четверти, то есть $\text{arctg}(-6) \in (-\frac{\pi}{2}; 0)$. Если $n = 0$, $x = \text{arctg}(-6)$. Это значение не принадлежит промежутку $[0; \pi]$. Если $n = 1$, $x = \text{arctg}(-6) + \pi$. Это значение принадлежит промежутку $[0; \pi]$ (так как $-\frac{\pi}{2} < \text{arctg}(-6) < 0$, то $\frac{\pi}{2} < \text{arctg}(-6) + \pi < \pi$). При других $n$ значения выходят за пределы промежутка. Корни, принадлежащие промежутку $[0; \pi]$, это $\frac{\pi}{4}$ и $\text{arctg}(-6) + \pi$. **Ответ к 3В. б):** $\frac{\pi}{4}$, $\text{arctg}(-6) + \pi$ 4В. а) Реши уравнение $4ctg 2x + ctg^2 2x - 5 = 0$ Допущение: В задании скорее всего опечатка, и должно быть $ctg^2 2x + 4ctg 2x - 5 = 0$ или что-то подобное. Будем считать, что уравнение имеет вид $ctg^2 2x + 4ctg 2x - 5 = 0$. Пусть $t = \text{ctg } 2x$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 + 4t - 5 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ $$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 6}{2}$$ $$t_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$t_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$ Вернемся к замене: 1) $\text{ctg } 2x = 1$ $$2x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in Z$$ $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$$ 2) $\text{ctg } 2x = -5$ $$2x = \text{arcctg}(-5) + \pi n, n \in Z$$ $$x = \frac{1}{2} \text{arcctg}(-5) + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$$ **Ответ к 4В. а):** $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$; $x = \frac{1}{2} \text{arcctg}(-5) + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$ б) Найди все корни, принадлежащие промежутку $[-\pi; 0]$. Рассмотрим первое общее решение $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$: При $n = 0$, $x = \frac{\pi}{8}$. Не принадлежит $[-\pi; 0]$. При $n = -1$, $x = \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi - 4\pi}{8} = -\frac{3\pi}{8}$. Принадлежит $[-\pi; 0]$. При $n = -2$, $x = \frac{\pi}{8} - \pi = -\frac{7\pi}{8}$. Принадлежит $[-\pi; 0]$. При $n = -3$, $x = \frac{\pi}{8} - \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi - 12\pi}{8} = -\frac{11\pi}{8}$. Не принадлежит $[-\pi; 0]$. Рассмотрим второе общее решение $x = \frac{1}{2} \text{arcctg}(-5) + \frac{\pi n}{2}$: Заметим, что $\text{arcctg}(-5) \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$, то есть $\frac{\pi}{4} < \frac{1}{2} \text{arcctg}(-5) < \frac{\pi}{2}$. При $n = 0$, $x = \frac{1}{2} \text{arcctg}(-5)$. Не принадлежит $[-\pi; 0]$. При $n = -1$, $x = \frac{1}{2} \text{arcctg}(-5) - \frac{\pi}{2}$. Это значение принадлежит $[-\pi; 0]$ (так как $\frac{\pi}{4} < \frac{1}{2} \text{arcctg}(-5) < \frac{\pi}{2}$, то $-\frac{\pi}{4} < \frac{1}{2} \text{arcctg}(-5) - \frac{\pi}{2} < 0$). При $n = -2$, $x = \frac{1}{2} \text{arcctg}(-5) - \pi$. Это значение принадлежит $[-\pi; 0]$ (так как $\frac{\pi}{4} < \frac{1}{2} \text{arcctg}(-5) < \frac{\pi}{2}$, то $-\frac{3\pi}{4} < \frac{1}{2} \text{arcctg}(-5) - \pi < -\frac{\pi}{2}$). (точнее $-\frac{3\pi}{4} < x < -\frac{\pi}{2}$, что входит в $[-\pi; 0]$). При $n = -3$, $x = \frac{1}{2} \text{arcctg}(-5) - \frac{3\pi}{2}$. Не принадлежит $[-\pi; 0]$. Корни, принадлежащие промежутку $[-\pi; 0]$, это $-\frac{3\pi}{8}$, $-\frac{7\pi}{8}$, $\frac{1}{2} \text{arcctg}(-5) - \frac{\pi}{2}$, $\frac{1}{2} \text{arcctg}(-5) - \pi$. **Ответ к 4В. б):** $-\frac{3\pi}{8}$, $-\frac{7\pi}{8}$, $\frac{1}{2} \text{arcctg}(-5) - \frac{\pi}{2}$, $\frac{1}{2} \text{arcctg}(-5) - \pi$ 5В. а) Реши уравнение $3sin^2 2x + 10sin 2x + 3 = 0$ Пусть $t = \sin 2x$. Тогда уравнение примет вид: $$3t^2 + 10t + 3 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$$ $$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm 8}{6}$$ $$t_1 = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$$ $$t_2 = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$ Вернемся к замене: 1) $\sin 2x = -\frac{1}{3}$ $$2x = (-1)^n \text{arcsin}\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in Z$$ $$2x = (-1)^{n+1} \text{arcsin}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in Z$$ $$x = \frac{1}{2} (-1)^{n+1} \text{arcsin}\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$$ 2) $\sin 2x = -3$ Это уравнение не имеет решений, так как $-1 \le \sin 2x \le 1$. **Ответ к 5В. а):** $x = \frac{1}{2} (-1)^{n+1} \text{arcsin}\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi n}{2}, n \in Z$ б) Найди все корни, принадлежащие промежутку $[0; \pi]$. Рассмотрим общее решение $x = \frac{1}{2} (-1)^{n+1} \text{arcsin}\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi n}{2}$. Пусть $\alpha = \text{arcsin}\left(\frac{1}{3}\right)$. Тогда $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$. При $n = 0$: $x = \frac{1}{2} (-1)^{1} \alpha = -\frac{\alpha}{2}$. Не принадлежит $[0; \pi]$. При $n = 1$: $x = \frac{1}{2} (-1)^{2} \alpha + \frac{\pi}{2} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{2}$. Принадлежит $[0; \pi]$ (так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}$). (точнее $\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$) При $n = 2$: $x = \frac{1}{2} (-1)^{3} \alpha + \pi = -\frac{\alpha}{2} + \pi$. Принадлежит $[0; \pi]$ (так как $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, то $\frac{3\pi}{4} < x < \pi$). При $n = 3$: $x = \frac{1}{2} (-1)^{4} \alpha + \frac{3\pi}{2} = \frac{\alpha}{2} + \frac{3\pi}{2}$. Не принадлежит $[0; \pi]$. Корни, принадлежащие промежутку $[0; \pi]$, это $\frac{1}{2} \text{arcsin}\left(\frac{1}{3}\right) + \frac{\pi}{2}$ и $-\frac{1}{2} \text{arcsin}\left(\frac{1}{3}\right) + \pi$. **Ответ к 5В. б):** $\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \text{arcsin}\left(\frac{1}{3}\right)$, $\pi - \frac{1}{2} \text{arcsin}\left(\frac{1}{3}\right)$ 6В. а) Реши уравнение $2cos^2 3x - 5cos 3x - 3 = 0$ Пусть $t = \cos 3x$. Тогда уравнение примет вид: $$2t^2 - 5t - 3 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$$ $$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 7}{4}$$ $$t_1 = \frac{5 + 7}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ $$t_2 = \frac{5 - 7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ Вернемся к замене: 1) $\cos 3x = 3$ Это уравнение не имеет решений, так как $-1 \le \cos 3x \le 1$. 2) $\cos 3x = -\frac{1}{2}$ $$3x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$$ $$x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z$$ **Ответ к 6В. а):** $x = \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z$ б) Найди все корни, принадлежащие промежутку $[", "\frac{3\pi}{2}]"$ (скорее всего, имеется в виду $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$) Допущение: Промежуток для пункта 6Б. б) записан как $[", "\frac{3\pi}{2}]"$ что является неформатной записью. Будем считать, что промежуток $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$. Рассмотрим общее решение $x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$: При $n = 0$, $x = \frac{2\pi}{9}$. Не принадлежит $[", "\frac{3\pi}{2}]"$. При $n = 1$, $x = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi + 6\pi}{9} = \frac{8\pi}{9}$. Не принадлежит $[", "\frac{3\pi}{2}]"$. При $n = 2$, $x = \frac{2\pi}{9} + \frac{4\pi}{3} = \frac{2\pi + 12\pi}{9} = \frac{14\pi}{9}$. Проверим принадлежность $\frac{14\pi}{9}$ к $[", "\frac{3\pi}{2}]"$: $\pi \le \frac{14\pi}{9} \le \frac{3\pi}{2}$. Это верно, так как $1 \le \frac{14}{9} \approx 1.55$ и $\frac{14}{9} \le 1.5$. $1.55 > 1.5$, значит $14\pi/9$ не принадлежит промежутку $[\pi; 3\pi/2]$. Пересчитаем: $14/9 \approx 1.555...$ и $3/2 = 1.5$. Значит $\frac{14\pi}{9} > \frac{3\pi}{2}$. Не принадлежит. Рассмотрим общее решение $x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}$: При $n = 0$, $x = -\frac{2\pi}{9}$. Не принадлежит $[", "\frac{3\pi}{2}]"$. При $n = 1$, $x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-2\pi + 6\pi}{9} = \frac{4\pi}{9}$. Не принадлежит $[", "\frac{3\pi}{2}]"$. При $n = 2$, $x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{4\pi}{3} = \frac{-2\pi + 12\pi}{9} = \frac{10\pi}{9}$. Проверим принадлежность $\frac{10\pi}{9}$ к $[", "\frac{3\pi}{2}]"$: $\pi \le \frac{10\pi}{9} \le \frac{3\pi}{2}$. Это верно, так как $1 \le \frac{10}{9} \approx 1.11$ и $\frac{10}{9} \le 1.5$. Это верно. Корни, принадлежащие промежутку $[\pi; \frac{3\pi}{2}]$, это $\frac{10\pi}{9}$. **Ответ к 6В. б):** $\frac{10\pi}{9}$ 7В. а) Реши уравнение $2sin^2 x + 3cos x = 0$ Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 x = 1 - cos^2 x$: $$2(1 - cos^2 x) + 3cos x = 0$$ $$2 - 2cos^2 x + 3cos x = 0$$ $$-2cos^2 x + 3cos x + 2 = 0$$ $$2cos^2 x - 3cos x - 2 = 0$$ Пусть $t = \cos x$. Тогда уравнение примет вид: $$2t^2 - 3t - 2 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$ $$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$$ $$t_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ $$t_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ Вернемся к замене: 1) $\cos x = 2$ Это уравнение не имеет решений, так как $-1 \le \cos x \le 1$. 2) $\cos x = -\frac{1}{2}$ $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$$ **Ответ к 7В. а):** $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$ б) Найди все корни, принадлежащие промежутку $[0; 2\pi]$. Рассмотрим общее решение $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: При $n = 0$, $x = \frac{2\pi}{3}$. Принадлежит $[0; 2\pi]$. При других $n$ значения выходят за пределы промежутка. Рассмотрим общее решение $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: При $n = 0$, $x = -\frac{2\pi}{3}$. Не принадлежит $[0; 2\pi]$. При $n = 1$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{-2\pi + 6\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$. Принадлежит $[0; 2\pi]$. При других $n$ значения выходят за пределы промежутка. Корни, принадлежащие промежутку $[0; 2\pi]$, это $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$. **Ответ к 7В. б):** $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{4\pi}{3}$ 8В. а) Реши уравнение $8sin^2 2x + cos 2x + 1 = 0$ Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 2x = 1 - cos^2 2x$: $$8(1 - cos^2 2x) + cos 2x + 1 = 0$$ $$8 - 8cos^2 2x + cos 2x + 1 = 0$$ $$-8cos^2 2x + cos 2x + 9 = 0$$ $$8cos^2 2x - cos 2x - 9 = 0$$ Пусть $t = \cos 2x$. Тогда уравнение примет вид: $$8t^2 - t - 9 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-9) = 1 + 288 = 289$$ $$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 8} = \frac{1 \pm 17}{16}$$ $$t_1 = \frac{1 + 17}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$$ $$t_2 = \frac{1 - 17}{16} = \frac{-16}{16} = -1$$ Вернемся к замене: 1) $\cos 2x = \frac{9}{8}$ Это уравнение не имеет решений, так как $-1 \le \cos 2x \le 1$ и $\frac{9}{8} > 1$. 2) $\cos 2x = -1$ $$2x = \pi + 2\pi n, n \in Z$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$$ **Ответ к 8В. а):** $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$ б) Найди все корни, принадлежащие промежутку $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$. Рассмотрим общее решение $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$. При $n = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Не принадлежит $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$. При $n = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$. Принадлежит $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$. При $n = -2$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}$. Не принадлежит $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$. Корень, принадлежащий промежутку $[-\pi; -\frac{\pi}{2}]$, это $-\frac{\pi}{2}$. **Ответ к 8В. б):** $-\frac{\pi}{2}$ 9В. а) Реши уравнение $4sin 3x + cos^2 3x = 4$ Используем основное тригонометрическое тождество $cos^2 3x = 1 - sin^2 3x$: $$4sin 3x + (1 - sin^2 3x) = 4$$ $$4sin 3x + 1 - sin^2 3x = 4$$ $$-sin^2 3x + 4sin 3x + 1 - 4 = 0$$ $$-sin^2 3x + 4sin 3x - 3 = 0$$ $$sin^2 3x - 4sin 3x + 3 = 0$$ Пусть $t = \sin 3x$. Тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 4t + 3 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$ $$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ $$t_1 = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$t_2 = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Вернемся к замене: 1) $\sin 3x = 3$ Это уравнение не имеет решений, так как $-1 \le \sin 3x \le 1$. 2) $\sin 3x = 1$ $$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z$$ **Ответ к 9В. а):** $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, n \in Z$ б) Найди все корни, принадлежащие промежутку $[0; \frac{\pi}{2}]$. Рассмотрим общее решение $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$. При $n = 0$, $x = \frac{\pi}{6}$. Принадлежит $[0; \frac{\pi}{2}]$. При $n = 1$, $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 4\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Не принадлежит $[0; \frac{\pi}{2}]$. При $n = -1$, $x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi - 4\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$. Не принадлежит $[0; \frac{\pi}{2}]$. Корень, принадлежащий промежутку $[0; \frac{\pi}{2}]$, это $\frac{\pi}{6}$. **Ответ к 9В. б):** $\frac{\pi}{6}$ 10В. а) Реши уравнение $2cos^2 x + 2cos x + sin^2 x = 0$ Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 x = 1 - cos^2 x$: $$2cos^2 x + 2cos x + (1 - cos^2 x) = 0$$ $$cos^2 x + 2cos x + 1 = 0$$ Это квадрат суммы, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \cos x$ и $b = 1$. $$(\cos x + 1)^2 = 0$$ $$\cos x + 1 = 0$$ $$\cos x = -1$$ $$x = \pi + 2\pi n, n \in Z$$ **Ответ к 10В. а):** $x = \pi + 2\pi n, n \in Z$ б) Найди все корни, принадлежащие промежутку $[\pi; 3\pi]$. Рассмотрим общее решение $x = \pi + 2\pi n$. При $n = 0$, $x = \pi$. Принадлежит $[\pi; 3\pi]$. При $n = 1$, $x = \pi + 2\pi = 3\pi$. Принадлежит $[\pi; 3\pi]$. При $n = -1$, $x = \pi - 2\pi = -\pi$. Не принадлежит $[\pi; 3\pi]$. При $n = 2$, $x = \pi + 4\pi = 5\pi$. Не принадлежит $[\pi; 3\pi]$. Корни, принадлежащие промежутку $[\pi; 3\pi]$, это $\pi$ и $3\pi$. **Ответ к 10В. б):** $\pi$, $3\pi$