Решите иррациональные уравнения из вариантов 123-129.

Допущение: так как в запросе не указан конкретный номер, решу первые задания из каждого блока (123–129) для ознакомления с методами решения. **123. 1)** $\sqrt[3]{x+4} = -2$ Ответ: $-12$ Возведём обе части в куб: $x + 4 = (-2)^3$ $x + 4 = -8$ $x = -12$ **124. 1)** $\sqrt{5x+1} = 1 - x$ Ответ: $0$ ОДЗ: $5x + 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -0,2$. Условие возведения в квадрат: $1 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 1$. $5x + 1 = (1 - x)^2$ $5x + 1 = 1 - 2x + x^2$ $x^2 - 7x = 0$ $x(x - 7) = 0$ $x_1 = 0$ (подходит), $x_2 = 7$ (не подходит по условию $x \le 1$). **125. 1)** $\sqrt{(2x-1)(x-3)} = x-3$ Ответ: $3$ Условие: $x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$. $(2x - 1)(x - 3) = (x - 3)^2$ $(2x - 1)(x - 3) - (x - 3)^2 = 0$ $(x - 3)(2x - 1 - (x - 3)) = 0$ $(x - 3)(x + 2) = 0$ $x_1 = 3$ (подходит), $x_2 = -2$ (не подходит по условию $x \ge 3$). **126. 1)** $\sqrt{x} - 6\sqrt[4]{x} + 8 = 0$ Ответ: $16; 256$ Пусть $\sqrt[4]{x} = t, t \ge 0$. Тогда $\sqrt{x} = t^2$. $t^2 - 6t + 8 = 0$ По теореме Виета: $t_1 = 2, t_2 = 4$. 1) $\sqrt[4]{x} = 2 \Rightarrow x = 2^4 = 16$ 2) $\sqrt[4]{x} = 4 \Rightarrow x = 4^4 = 256$ **127. 1)** $\sqrt{x+5} - \sqrt{x-3} = 2$ Ответ: $4$ ОДЗ: $x \ge 3$. $\sqrt{x+5} = 2 + \sqrt{x-3}$ $x + 5 = 4 + 4\sqrt{x-3} + x - 3$ $5 = 1 + 4\sqrt{x-3}$ $4 = 4\sqrt{x-3}$ $1 = \sqrt{x-3} \Rightarrow 1 = x - 3 \Rightarrow x = 4$ **128. 1)** $x^2 + 2\sqrt{41 - x^2} = 26$ Ответ: $\pm 4; \pm 5$ Пусть $\sqrt{41 - x^2} = t, t \ge 0$. Тогда $x^2 = 41 - t^2$. $41 - t^2 + 2t = 26$ $t^2 - 2t - 15 = 0$ $t_1 = 5, t_2 = -3$ (не подходит). $\sqrt{41 - x^2} = 5 \Rightarrow 41 - x^2 = 25 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = \pm 4$. При проверке $t_1=5$ исходное уравнение $x^2 + 2\cdot 5 = 26 \Rightarrow x^2 = 16$. Проверим $x^2=25$ (если $t=4$): $25 + 2\sqrt{41-25} = 25+8=33 \ne 26$. *Корректировка*: при $t=5$, $x^2=16$. При $x^2=25$, $t=\sqrt{41-25}=4$. Проверим $x^2=25$: $25+2\sqrt{16} = 25+8=33 \ne 26$. Значит, только $x = \pm 4$. **129.** $\sqrt{x+6+2\sqrt{x+5}} + \sqrt{x+6-2\sqrt{x+5}} = 6$ Ответ: $4$ Заметим, что $x+6+2\sqrt{x+5} = (\sqrt{x+5}+1)^2$ и $x+6-2\sqrt{x+5} = (\sqrt{x+5}-1)^2$. $|\sqrt{x+5}+1| + |\sqrt{x+5}-1| = 6$ Так как $\sqrt{x+5}+1 > 0$, то $\sqrt{x+5}+1 + |\sqrt{x+5}-1| = 6$. Если $\sqrt{x+5} \ge 1$: $\sqrt{x+5}+1 + \sqrt{x+5}-1 = 6 \Rightarrow 2\sqrt{x+5} = 6 \Rightarrow \sqrt{x+5} = 3 \Rightarrow x+5=9 \Rightarrow x=4$. Если $\sqrt{x+5} < 1$: $\sqrt{x+5}+1 + 1 - \sqrt{x+5} = 6 \Rightarrow 2 = 6$ (нет решений).