Сравните числа a и b, если: 1) (7,6)^a > (7,6)^b

**1. Сравните числа $a$ и $b$:** 1) $7,6^a > 7,6^b$. Так как основание $7,6 > 1$, функция $y = 7,6^x$ возрастает. Значит, знак неравенства для показателей сохраняется. **Ответ: $a > b$** 2) $0,3^a < 0,3^b$. Так как основание $0,3 < 1$, функция $y = 0,3^x$ убывает. Значит, знак неравенства для показателей меняется на противоположный. **Ответ: $a > b$** **2. Решите уравнение:** 1) $4^{x+3} - 4^x = 63$ $4^x \cdot 4^3 - 4^x = 63$ $4^x (64 - 1) = 63$ $4^x \cdot 63 = 63$ $4^x = 1$ $4^x = 4^0$ **Ответ: $x = 0$** 2) $36^x - 4 \cdot 6^x = 12$ $(6^x)^2 - 4 \cdot 6^x - 12 = 0$ Пусть $6^x = t, t > 0$: $t^2 - 4t - 12 = 0$ $D = 16 - 4(-12) = 64$ $t_1 = \frac{4+8}{2} = 6$; $t_2 = \frac{4-8}{2} = -2$ (не подходит, так как $t > 0$) Обратная замена: $6^x = 6^1$ **Ответ: $x = 1$** **3. Найдите множество решений неравенства:** $\left(\frac{2}{3}\right)^{6x} \le \left(\frac{2}{3}\right)^{x+8}$ Так как основание $0 < \frac{2}{3} < 1$, функция убывает, знак неравенства меняется: $6x \ge x + 8$ $5x \ge 8$ $x \ge 1,6$ **Ответ: $[1,6; +\infty)$** **4. Решите уравнение:** 1) $(2^{x-5})^{x+3} = 0,5^x \cdot 8^{x-6}$ $2^{(x-5)(x+3)} = 2^{-x} \cdot (2^3)^{x-6}$ $2^{x^2-2x-15} = 2^{-x+3x-18}$ $x^2 - 2x - 15 = 2x - 18$ $x^2 - 4x + 3 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 1, x_2 = 3$ **Ответ: 1; 3** 2) $7 \cdot 81^x + 9 \cdot 49^x = 16 \cdot 63^x$ $7 \cdot (9^x)^2 - 16 \cdot (9 \cdot 7)^x + 9 \cdot (7^x)^2 = 0$ Разделим на $(7^x)^2 \neq 0$: $7 \cdot \left(\frac{9}{7}\right)^{2x} - 16 \cdot \left(\frac{9}{7}\right)^x + 9 = 0$ Пусть $\left(\frac{9}{7}\right)^x = t, t > 0$: $7t^2 - 16t + 9 = 0$ Сумма коэффициентов $7-16+9 = 0$, значит $t_1 = 1, t_2 = \frac{9}{7}$ 1) $\left(\frac{9}{7}\right)^x = 1 \Rightarrow x = 0$ 2) $\left(\frac{9}{7}\right)^x = \frac{9}{7} \Rightarrow x = 1$ **Ответ: 0; 1** **5. Решите неравенство:** 1) $0,3^{\frac{x^2+x-15}{x+3}} \ge 0,027$ $0,3^{\frac{x^2+x-15}{x+3}} \ge 0,3^3$ Так как $0,3 < 1$, знак меняется: $\frac{x^2+x-15}{x+3} \le 3$ $\frac{x^2+x-15-3x-9}{x+3} \le 0$ $\frac{x^2-2x-24}{x+3} \le 0$ Разложим числитель: $x^2-2x-24=0 \Rightarrow x_1=6, x_2=-4$ $\frac{(x-6)(x+4)}{x+3} \le 0$ Методом интервалов: $x \in (-\infty; -4] \cup (-3; 6]$ **Ответ: $(-\infty; -4] \cup (-3; 6]$** 2) $5^{2x-1} - 2 \cdot 5^x - 75 \ge 0$ $\frac{1}{5} \cdot (5^x)^2 - 2 \cdot 5^x - 75 \ge 0$ Умножим на 5: $(5^x)^2 - 10 \cdot 5^x - 375 \ge 0$ Пусть $5^x = t, t > 0$: $t^2 - 10t - 375 = 0 \Rightarrow D = 100 + 1500 = 1600 = 40^2$ $t_1 = \frac{10+40}{2} = 25; t_2 = -15$ $(t-25)(t+15) \ge 0$ Так как $t > 0$, то $t+15$ всегда положительно. Значит $t - 25 \ge 0 \Rightarrow t \ge 25$ $5^x \ge 5^2 \Rightarrow x \ge 2$ **Ответ: $[2; +\infty)$**