Решите неравенство: $\operatorname{tg}\left(x-\frac{\pi}{3}\right) \leqslant \sqrt{3}$

1) Решим неравенство $\operatorname{tg}\left(x-\frac{\pi}{3}\right) \leqslant \sqrt{3}$. Пусть $t = x - \frac{\pi}{3}$. Тогда неравенство примет вид $\operatorname{tg} t \leqslant \sqrt{3}$. Общее решение для $\operatorname{tg} t \leqslant \sqrt{3}$ это: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < t \leqslant \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Теперь подставим обратно $t = x - \frac{\pi}{3}$: $-\frac{\pi}{2} + \pi n < x - \frac{\pi}{3} \leqslant \frac{\pi}{3} + \pi n$ Прибавим $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям неравенства: $-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + \pi n < x \leqslant \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + \pi n$ $-\frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + \pi n < x \leqslant \frac{2\pi}{3} + \pi n$ $-\frac{\pi}{6} + \pi n < x \leqslant \frac{2\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. **Ответ:** $x \in \left(-\frac{\pi}{6} + \pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n\right]$, где $n \in \mathbb{Z}$.