Сравните числа a и b; решите уравнения и неравенства (Вариант 2).

Привет! Давай разберем эти задания по алгебре. Работаем с показательными функциями, уравнениями и неравенствами. **Задание 1. Сравните числа $a$ и $b$** 1) $(7,6)^a > (7,6)^b$. Так как основание $7,6 > 1$, то функция $y = 7,6^x$ возрастающая. Значит, при большем значении функции будет и большее значение аргумента. **Ответ: $a > b$**. 2) $(0,3)^a < (0,3)^b$. Так как основание $0 < 0,3 < 1$, то функция $y = 0,3^x$ убывающая. Значит, знак неравенства для аргументов меняется на противоположный. **Ответ: $a > b$**. **Задание 2. Решите уравнение** 1) $4^{x+3} - 4^x = 63$ Вынесем общий множитель за скобки: $4^x \cdot (4^3 - 1) = 63$ $4^x \cdot (64 - 1) = 63$ $4^x \cdot 63 = 63$ $4^x = 1$ $4^x = 4^0$ **Ответ: $x = 0$**. 2) $36^x - 4 \cdot 6^x = 12$ Пусть $6^x = t$, где $t > 0$. Тогда $36^x = (6^2)^x = (6^x)^2 = t^2$. $t^2 - 4t - 12 = 0$ По теореме Виета: $t_1 = 6$; $t_2 = -2$ (не подходит, так как $t > 0$). Обратная замена: $6^x = 6^1$ **Ответ: $x = 1$**. **Задание 3. Найдите множество решений неравенства** $\left(\frac{2}{3}\right)^{6x} \le \left(\frac{2}{3}\right)^{x+8}$ Так как основание $0 < \frac{2}{3} < 1$, то функция убывающая, и знак неравенства меняется: $6x \ge x + 8$ $5x \ge 8$ $x \ge 1,6$ **Ответ: $x \in [1,6; +\infty)$**. **Задание 4. Решите уравнение** 1) $(2^{x-5})^{x+3} = 0,5^x \cdot 8^{x-6}$ Приведем всё к основанию 2: $2^{(x-5)(x+3)} = 2^{-x} \cdot (2^3)^{x-6}$ $2^{x^2 - 2x - 15} = 2^{-x} \cdot 2^{3x - 18}$ $2^{x^2 - 2x - 15} = 2^{2x - 18}$ $x^2 - 2x - 15 = 2x - 18$ $x^2 - 4x + 3 = 0$ Корни по теореме Виета: **Ответ: $x_1 = 1; x_2 = 3$**. 2) $7 \cdot 81^x + 9 \cdot 49^x = 16 \cdot 63^x$ Это однородное уравнение. Разделим обе части на $49^x$ (так как $49^x \neq 0$): $7 \cdot \frac{81^x}{49^x} + 9 = 16 \cdot \frac{63^x}{49^x}$ $7 \cdot \left(\frac{9}{7}\right)^{2x} - 16 \cdot \left(\frac{9}{7}\right)^x + 9 = 0$ Пусть $\left(\frac{9}{7}\right)^x = t$, $t > 0$: $7t^2 - 16t + 9 = 0$ Сумма коэффициентов $7-16+9=0$, значит $t_1 = 1$; $t_2 = \frac{9}{7}$. 1) $\left(\frac{9}{7}\right)^x = 1 \Rightarrow x = 0$ 2) $\left(\frac{9}{7}\right)^x = \frac{9}{7} \Rightarrow x = 1$ **Ответ: $x_1 = 0; x_2 = 1$**. **Задание 5. Решите неравенство** 1) $0,3^{\frac{x^2+x-15}{x+3}} \ge 0,027$ $0,3^{\frac{x^2+x-15}{x+3}} \ge 0,3^3$ Так как $0,3 < 1$, знак меняется: $\frac{x^2+x-15}{x+3} \le 3$ $\frac{x^2+x-15-3x-9}{x+3} \le 0$ $\frac{x^2-2x-24}{x+3} \le 0$ Корни числителя: $x=6, x=-4$. Корень знаменателя: $x=-3$. Методом интервалов: $(-\infty; -4] \cup (-3; 6]$. **Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup (-3; 6]$**. 2) $5^{2x-1} - 2 \cdot 5^x - 75 \ge 0$ $\frac{1}{5} \cdot (5^x)^2 - 2 \cdot 5^x - 75 \ge 0$ Умножим на 5 и пусть $5^x = t, t > 0$: $t^2 - 10t - 375 \ge 0$ Корни уравнения $t^2 - 10t - 375 = 0$: $t_1 = 25, t_2 = -15$. Так как $t > 0$, то $t \ge 25$. $5^x \ge 5^2 \Rightarrow x \ge 2$ **Ответ: $x \in [2; +\infty)$**.