Решите иррациональные уравнения: 4) x + sqrt(x^2 - 9) = 21; 6) sqrt(x + 3) = 9 - x; 8) 5*sqrt(x - 2) = x + 2; 10) sqrt(2x + 15) = 3 + sqrt(x - 1); 12) sqrt(x + 5) + sqrt(2x + 8) = 7; 14) sqrt(x) * sqrt(1 - x) = x.

4) $x + \sqrt{x^2 - 9} = 21$ $\sqrt{x^2 - 9} = 21 - x$ $x^2 - 9 = (21 - x)^2$ $x^2 - 9 = 441 - 42x + x^2$ $42x = 450$ $x = 10\frac{5}{7}$ Проверка: $21 - 10\frac{5}{7} \ge 0$ (верно). Ответ: $10\frac{5}{7}$ 6) $\sqrt{x + 3} = 9 - x$ $x + 3 = (9 - x)^2$ $x + 3 = 81 - 18x + x^2$ $x^2 - 19x + 78 = 0$ $D = 361 - 312 = 49$ $x_1 = \frac{19 + 7}{2} = 13$ (не подходит по ОДЗ: $9 - 13 < 0$) $x_2 = \frac{19 - 7}{2} = 6$ Ответ: 6 8) $5\sqrt{x - 2} = x + 2$ $25(x - 2) = (x + 2)^2$ $25x - 50 = x^2 + 4x + 4$ $x^2 - 21x + 54 = 0$ $D = 441 - 216 = 225$ $x_1 = \frac{21 + 15}{2} = 18$ $x_2 = \frac{21 - 15}{2} = 3$ Проверка: оба корня подходят. Ответ: 3; 18 10) $\sqrt{2x + 15} = 3 + \sqrt{x - 1}$ $2x + 15 = 9 + 6\sqrt{x - 1} + x - 1$ $x + 7 = 6\sqrt{x - 1}$ $(x + 7)^2 = 36(x - 1)$ $x^2 + 14x + 49 = 36x - 36$ $x^2 - 22x + 85 = 0$ $D = 484 - 340 = 144$ $x_1 = \frac{22 + 12}{2} = 17$ $x_2 = \frac{22 - 12}{2} = 5$ Проверка: оба корня подходят. Ответ: 5; 17 12) $\sqrt{x + 5} + \sqrt{2x + 8} = 7$ $\sqrt{2x + 8} = 7 - \sqrt{x + 5}$ $2x + 8 = 49 - 14\sqrt{x + 5} + x + 5$ $x - 46 = -14\sqrt{x + 5}$ $(x - 46)^2 = 196(x + 5)$ $x^2 - 92x + 2116 = 196x + 980$ $x^2 - 288x + 1136 = 0$ $D/4 = 144^2 - 1136 = 20736 - 1136 = 19600 = 140^2$ $x_1 = 144 + 140 = 284$ (не подходит: $7 - \sqrt{284+5} < 0$) $x_2 = 144 - 140 = 4$ Ответ: 4 14) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{1 - x} = x$ ОДЗ: $x \ge 0$ и $1 - x \ge 0 \Rightarrow x \in [0; 1]$ $\sqrt{x(1 - x)} = x$ $x(1 - x) = x^2$ $x - x^2 = x^2$ $2x^2 - x = 0$ $x(2x - 1) = 0$ $x_1 = 0$ $x_2 = 0,5$ Ответ: 0; 0,5