Для функции f(x) = 3x^2 + 2x - 3 найти первообразную, график которой проходит через точку M(1; -2). Вычислить интегралы. Найти площадь фигуры.

### Задание 2 Для функции $f(x) = 3x^2 + 2x - 3$ найдём общую первообразную: $F(x) = \int (3x^2 + 2x - 3) dx = x^3 + x^2 - 3x + C$ Так как график проходит через точку $M(1; -2)$, подставим её координаты ($x=1, y=-2$) в уравнение: $-2 = 1^3 + 1^2 - 3 \cdot 1 + C$ $-2 = 1 + 1 - 3 + C$ $-2 = -1 + C \Rightarrow C = -1$ **Ответ:** $F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 1$ ### Задание 3 Вычислим интегралы по формуле Ньютона-Лейбница: 1. $\int_{1}^{2} 3x^3 dx = \left. \frac{3x^4}{4} \right|_1^2 = \frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 1}{4} = 12 - 0,75 = 11,25$ 2. $\int_{2}^{4} \frac{dx}{x^2} = \int_{2}^{4} x^{-2} dx = \left. -\frac{1}{x} \right|_2^4 = -\frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}) = -0,25 + 0,5 = 0,25$ 3. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \left. \sin x \right|_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$ 4. $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin 2x dx = \left. -\frac{1}{2} \cos 2x \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -\frac{1}{2} (\cos 2\pi - \cos \pi) = -\frac{1}{2} (1 - (-1)) = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$ ### Задание 4 **а) Найти площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 + x - 6$ и осью $Ox$.** 1. Найдём пределы интегрирования (корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$): $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25$ $x_1 = \frac{-1-5}{2} = -3$; $x_2 = \frac{-1+5}{2} = 2$ 2. Так как ветви параболы направлены вверх, на интервале $(-3; 2)$ функция отрицательна. Площадь: $S = \left| \int_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) dx \right| = \left| \left. (\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x) \right|_{-3}^2 \right| = \left| (\frac{8}{3} + 2 - 12) - (-9 + 4,5 + 18) \right| = \left| -7\frac{1}{3} - 13,5 \right| = 20\frac{5}{6}$ **Ответ:** $20\frac{5}{6}$ **б) Найти площадь фигуры, ограниченной $y = x^2 + 1$ и $y = 10$.** 1. Пределы интегрирования ($x^2 + 1 = 10$): $x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = -3, x_2 = 3$ 2. Площадь (верхняя линия минус нижняя): $S = \int_{-3}^{3} (10 - (x^2 + 1)) dx = \int_{-3}^{3} (9 - x^2) dx = \left. (9x - \frac{x^3}{3}) \right|_{-3}^3 = (27 - 9) - (-27 + 9) = 18 + 18 = 36$ **Ответ:** 36