ПРОВЕРЬ СЕБЯ! 1. Показать, что функция F(x)=e^{2x}+x^3-cos x является первообразной для функции f(x)=2e^{2x}+3x^2+sin x на всей числовой прямой.

1. Чтобы показать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, нужно найти производную $F'(x)$ и проверить, совпадает ли она с $f(x)$: $F'(x) = (e^{2x} + x^3 - \cos x)' = (e^{2x})' + (x^3)' - (\cos x)' = 2e^{2x} + 3x^2 - (-\sin x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$. Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на всей числовой прямой. 2. Найдём общую первообразную для $f(x) = 3x^2 + 2x - 3$: $F(x) = \int (3x^2 + 2x - 3) dx = x^3 + x^2 - 3x + C$. Подставим координаты точки $M(1; -2)$, где $x=1, y=-2$: $-2 = 1^3 + 1^2 - 3 \cdot 1 + C \Rightarrow -2 = 1 + 1 - 3 + C \Rightarrow -2 = -1 + C \Rightarrow C = -1$. **Ответ:** $F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 1$. 3. Вычислим интегралы: а) $\int_{1}^{2} 3x^3 dx = [\frac{3x^4}{4}]_1^2 = \frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 1}{4} = 12 - 0,75 = 11,25$. б) $\int_{2}^{4} \frac{dx}{x^2} = [-\frac{1}{x}]_2^4 = -\frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}) = -0,25 + 0,5 = 0,25$. в) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$. г) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin 2x dx = [-\frac{1}{2}\cos 2x]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -\frac{1}{2}(\cos 2\pi - \cos \pi) = -\frac{1}{2}(1 - (-1)) = -1$. 4. Нахождение площади: а) $y = x^2 + x - 6$, ось $Ox$ ($y=0$). Найдём пределы интегрирования: $x^2 + x - 6 = 0 \Rightarrow x_1 = -3, x_2 = 2$. Парабола ветвями вверх, на $[-3; 2]$ функция отрицательна. $S = |\int_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) dx| = |[\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x]_{-3}^{2}| = |(\frac{8}{3} + 2 - 12) - (-9 + 4,5 + 18)| = |-\frac{22}{3} - 13,5| = |-\frac{44 + 81}{6}| = \frac{125}{6} = 20\frac{5}{6}$. б) $y = x^2 + 1$ и $y = 10$. Пределы: $x^2 + 1 = 10 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. $S = \int_{-3}^{3} (10 - (x^2 + 1)) dx = \int_{-3}^{3} (9 - x^2) dx = [9x - \frac{x^3}{3}]_{-3}^{3} = (27 - 9) - (-27 + 9) = 18 - (-18) = 36$. **Ответ: а) $20\frac{5}{6}$; б) 36.**