Найди площадь фигуры, ограниченной линиями: a) параболой y = (x-1)², прямыми x=-1 и x=2 и осью Ox; б) графиком функции y = 4/x при x>0, параболой y = -x²+4x+1.

a) Для решения этой задачи нам нужно вычислить интеграл от функции $y = (x-1)^2$ в пределах от $x = -1$ до $x = 2$. Площадь фигуры, ограниченной параболой, прямыми $x = -1$, $x = 2$ и осью $Ox$, будет равна интегралу: $$S = \int_{-1}^{2} (x-1)^2 dx$$ Разложим квадрат и проинтегрируем: $$S = \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 1) dx = \left[\frac{x^3}{3} - x^2 + x\right]_{-1}^{2}$$ Подставим пределы интегрирования: $$S = \left(\frac{2^3}{3} - 2^2 + 2\right) - \left(\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 + (-1)\right) = \left(\frac{8}{3} - 4 + 2\right) - \left(-\frac{1}{3} - 1 - 1\right)$$ $$S = \frac{8}{3} - 2 + \frac{1}{3} + 2 = \frac{9}{3} = 3$$ **Ответ: 3** b) Для решения этой задачи нужно найти точки пересечения графика функции $y = \frac{4}{x}$ и параболы $y = -x^2 + 4x + 1$ при $x > 0$. Приравняем функции: $$\frac{4}{x} = -x^2 + 4x + 1$$ $$4 = -x^3 + 4x^2 + x$$ $$x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0$$ Решим кубическое уравнение. Можно заметить, что $x = 1$ является корнем: $$1^3 - 4 \cdot 1^2 - 1 + 4 = 1 - 4 - 1 + 4 = 0$$ Разделим многочлен $x^3 - 4x^2 - x + 4$ на $(x - 1)$: $$(x^3 - 4x^2 - x + 4) \div (x - 1) = x^2 - 3x - 4$$ Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$ $$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}$$ $$x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{3 - 5}{2} = -1$$ Так как $x > 0$, то $x = 1$ и $x = 4$ - точки пересечения. Теперь найдем площадь между графиками функций на интервале $[1, 4]$: $$S = \int_{1}^{4} \left((-x^2 + 4x + 1) - \frac{4}{x}\right) dx = \int_{1}^{4} (-x^2 + 4x + 1 - \frac{4}{x}) dx$$ $$S = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2 + x - 4\ln|x|\right]_{1}^{4}$$ Подставим пределы интегрирования: $$S = \left(-\frac{4^3}{3} + 2 \cdot 4^2 + 4 - 4\ln 4\right) - \left(-\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 + 1 - 4\ln 1\right)$$ $$S = \left(-\frac{64}{3} + 32 + 4 - 4\ln 4\right) - \left(-\frac{1}{3} + 2 + 1 - 0\right) = \left(-\frac{64}{3} + 36 - 4\ln 4\right) - \left(\frac{8}{3}\right)$$ $$S = -\frac{64}{3} + 36 - 4\ln 4 + \frac{1}{3} - 3 = -\frac{63}{3} + 33 - 4\ln 4 = -21 + 33 - 4\ln 4 = 12 - 4\ln 4$$ $$S = 12 - 4\ln 4 = 12 - 4\ln 2^2 = 12 - 8\ln 2$$ **Ответ: $12 - 8\ln 2$**