1. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y = -x^2 + 4, прямой y = 3x и осью Ox. 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной двумя параболами y = x^2 и y = 2x - x^2

Question

Вопрос:

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y = -x^2 + 4, прямой y = 3x и осью Ox. 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной двумя параболами y = x^2 и y = 2x - x^2

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -x^2 + 4$, $y = 3x$ и осью $Ox$, определим точки пересечения графиков: - С осью $Ox$ ($y=0$): $-x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2$. Прямая $y=3x$ пересекает $Ox$ в точке $x=0$. - Между собой: $-x^2 + 4 = 3x \Rightarrow x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета $x_3 = 1, x_4 = -4$. Фигура в первой четверти ограничена прямой $y=3x$ от $0$ до $1$ и параболой $y=-x^2+4$ от $1$ до $2$. $S = \int_{0}^{1} 3x dx + \int_{1}^{2} (-x^2 + 4) dx = \left. \frac{3x^2}{2} \right|_0^1 + \left. (- \frac{x^3}{3} + 4x) \right|_1^2 = (\frac{3}{2} - 0) + (- \frac{8}{3} + 8) - (- \frac{1}{3} + 4) = 1,5 + 5\frac{1}{3} - 3\frac{2}{3} = 1,5 + 1\frac{2}{3} = 1,5 + 1,666... = 3\frac{1}{6}$ **Ответ: $3\frac{1}{6}$** 2. Найдём точки пересечения парабол $y = x^2$ и $y = 2x - x^2$: $x^2 = 2x - x^2 \Rightarrow 2x^2 - 2x = 0 \Rightarrow 2x(x - 1) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 1$. На интервале $[0; 1]$ парабола $y = 2x - x^2$ находится выше параболы $y = x^2$. $S = \int_{0}^{1} ((2x - x^2) - x^2) dx = \int_{0}^{1} (2x - 2x^2) dx = \left. (x^2 - \frac{2x^3}{3}) \right|_0^1 = (1 - \frac{2}{3}) - 0 = \frac{1}{3}$ **Ответ: $\frac{1}{3}$**

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y = -x^2 + 4, прямой y = 3x и осью Ox. 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной двумя параболами y = x^2 и y = 2x - x^2

Ответ ассистента

Другие решения