Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y = 8x - x² - 7 и прямой y = x + 3

Question

Вопрос:

Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y = 8x - x² - 7 и прямой y = x + 3

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 8x - x^2 - 7$ и $y = x + 3$, воспользуемся определенным интегралом. 1. Найдем точки пересечения графиков, приравняв правые части уравнений: $8x - x^2 - 7 = x + 3$ $-x^2 + 7x - 10 = 0$ $x^2 - 7x + 10 = 0$ По теореме Виета корни: $x_1 = 2, x_2 = 5$. 2. Определим, какая функция находится выше на интервале $[2; 5]$. Возьмем точку $x = 3$: $y_{пар} = 8 \cdot 3 - 3^2 - 7 = 24 - 9 - 7 = 8$ $y_{пр} = 3 + 3 = 6$ Парабола выше прямой ($8 > 6$). 3. Вычислим площадь $S$ как интеграл разности функций: $S = \int_{2}^{5} ((8x - x^2 - 7) - (x + 3)) dx = \int_{2}^{5} (-x^2 + 7x - 10) dx = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{7x^2}{2} - 10x \right) \right|_2^5$ $S = \left( -\frac{125}{3} + \frac{7 \cdot 25}{2} - 10 \cdot 5 \right) - \left( -\frac{8}{3} + \frac{7 \cdot 4}{2} - 10 \cdot 2 \right)$ $S = \left( -41\frac{2}{3} + 87,5 - 50 \right) - \left( -2\frac{2}{3} + 14 - 20 \right) = (-4,166... + 87,5 - 50) - (-2,666... + 14 - 20)$ $S = -41\frac{2}{3} + 87\frac{1}{2} - 50 + 2\frac{2}{3} - 14 + 20 = -39 + 73,5 - 30 = 4,5$ Ответ: 4,5

Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y = 8x - x² - 7 и прямой y = x + 3

Ответ ассистента

Другие решения