Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой y = x^2 - x, y = 0, прямыми x1 = 0, x2 = 2

Question

Вопрос:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой y = x^2 - x, y = 0, прямыми x1 = 0, x2 = 2

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - x$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = 2$, нужно вычислить определенный интеграл. 1. Найдем точки пересечения параболы с осью $Ox$ ($y=0$): $x^2 - x = 0$ $x(x - 1) = 0$ $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. 2. Проанализируем знак функции на интервале $[0; 2]$: - На интервале $[0; 1]$ парабола находится ниже оси $Ox$ ($y \le 0$). - На интервале $[1; 2]$ парабола находится выше оси $Ox$ ($y \ge 0$). 3. Площадь фигуры $S$ будет равна сумме площадей двух частей: $S = \int_{0}^{1} |x^2 - x| dx + \int_{1}^{2} |x^2 - x| dx = -\int_{0}^{1} (x^2 - x) dx + \int_{1}^{2} (x^2 - x) dx$ 4. Вычислим интегралы: $-\int_{0}^{1} (x^2 - x) dx = -[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}] \Big|_0^1 = -(\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) = -(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{6}$ $\int_{1}^{2} (x^2 - x) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}] \Big|_1^2 = (\frac{8}{3} - \frac{4}{2}) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) = (\frac{8}{3} - 2) - (-\frac{1}{6}) = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{4+1}{6} = \frac{5}{6}$ 5. Итоговая площадь: $S = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{6}{6} = 1$ **Ответ: 1.**

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой y = x^2 - x, y = 0, прямыми x1 = 0, x2 = 2

Ответ ассистента

Другие решения