Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой y = 2x - x² и y = 0. Найдите площадь фигуры, ограниченной y = x² - 4x + 4, y = 4 - x².

Question

Вопрос:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой y = 2x - x² и y = 0. Найдите площадь фигуры, ограниченной y = x² - 4x + 4, y = 4 - x².

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

### 2 вопрос 1. Найдём точки пересечения параболы $y = 2x - x^2$ и прямой $y = 0$: $2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2 - x) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 2$. 2. Площадь $S$ фигуры вычислим с помощью определённого интеграла: $S = \int_0^2 (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2 = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (0^2 - \frac{0^3}{3}) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33$. **Ответ: 4/3**. ### 3 вопрос 1. Найдём точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x + 4$ и $y = 4 - x^2$: $x^2 - 4x + 4 = 4 - x^2$ $2x^2 - 4x = 0 \Rightarrow 2x(x - 2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 2$. 2. На интервале $(0; 2)$ график функции $y = 4 - x^2$ находится выше графика $y = x^2 - 4x + 4$ (это можно проверить, подставив $x = 1$). 3. Вычислим площадь $S$: $S = \int_0^2 ((4 - x^2) - (x^2 - 4x + 4)) dx = \int_0^2 (4 - x^2 - x^2 + 4x - 4) dx = \int_0^2 (-2x^2 + 4x) dx$ $S = [-\frac{2x^3}{3} + 2x^2]_0^2 = (-\frac{2 \cdot 2^3}{3} + 2 \cdot 2^2) - 0 = -\frac{16}{3} + 8 = \frac{-16 + 24}{3} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67$. **Ответ: 8/3**.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой y = 2x - x² и y = 0. Найдите площадь фигуры, ограниченной y = x² - 4x + 4, y = 4 - x².

Ответ ассистента

Другие решения