Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = (x+1)^2, прямой y = 1 - x и осью Ox

1) Парабола $y = (x+1)^2$, прямая $y = 1 - x$ и ось $Ox$. Для начала найдем точки пересечения этих функций. Точки пересечения параболы $y = (x+1)^2$ с осью $Ox$ ($y=0$): $$(x+1)^2 = 0 \Rightarrow x = -1$$ Точки пересечения прямой $y = 1 - x$ с осью $Ox$ ($y=0$): $$1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$$ Точки пересечения параболы $y = (x+1)^2$ и прямой $y = 1 - x$: $$(x+1)^2 = 1 - x$$ $$x^2 + 2x + 1 = 1 - x$$ $$x^2 + 3x = 0$$ $$x(x+3) = 0$$ $$x_1 = 0, x_2 = -3$$ Соответствующие значения $y$: При $x = 0$, $y = (0+1)^2 = 1$ или $y = 1 - 0 = 1$. Точка $(0, 1)$. При $x = -3$, $y = (-3+1)^2 = (-2)^2 = 4$ или $y = 1 - (-3) = 4$. Точка $(-3, 4)$. Разобьем область на две части: от $x = -1$ до $x = 0$ и от $x = 0$ до $x = 1$. На участке от $x = -1$ до $x = 0$ фигура ограничена параболой $y = (x+1)^2$ сверху и осью $Ox$ снизу. На участке от $x = 0$ до $x = 1$ фигура ограничена прямой $y = 1 - x$ сверху и осью $Ox$ снизу. Площадь $S$ будет суммой двух интегралов: $$S = \int_{-1}^{0} (x+1)^2 dx + \int_{0}^{1} (1-x) dx$$ Вычислим первый интеграл: $$\int_{-1}^{0} (x+1)^2 dx = \int_{-1}^{0} (x^2 + 2x + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_{-1}^{0}$$ $$= \left( \frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + (-1) \right)$$ $$= 0 - \left( -\frac{1}{3} + 1 - 1 \right) = -\left( -\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{3}$$ Вычислим второй интеграл: $$\int_{0}^{1} (1-x) dx = \left[ x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$$ $$= \left( 1 - \frac{1^2}{2} \right) - \left( 0 - \frac{0^2}{2} \right) = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) - 0 = \frac{1}{2}$$ Общая площадь: $$S = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$$ :::div .chart-container @chart-1::: **Ответ:** $\frac{5}{6}$