№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: параболой y=(x-1)², прямой y=x+1 и осью Ox.

**Ответ: $S = \frac{7}{6}$ (или $1\frac{1}{6}$)** Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = (x - 1)^2$, $y = x + 1$ и осью $Ox$, выполним следующие шаги: 1. **Определим границы и точки пересечения:** * Ось $Ox$ — это прямая $y = 0$. * Парабола $y = (x - 1)^2$ касается оси $Ox$ в точке $x = 1$. * Прямая $y = x + 1$ пересекает ось $Ox$ в точке $x = -1$ (так как $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$). * Найдем точку пересечения параболы и прямой: $(x - 1)^2 = x + 1$ $x^2 - 2x + 1 = x + 1$ $x^2 - 3x = 0$ $x(x - 3) = 0$ Корни: $x = 0$ и $x = 3$. 2. **Анализ фигуры:** Фигура ограничена снизу осью $Ox$ ($y=0$), сверху — прямой и параболой. Она состоит из двух частей: * От $x = -1$ до $x = 0$: фигура ограничена сверху прямой $y = x + 1$. * От $x = 0$ до $x = 1$: фигура ограничена сверху параболой $y = (x - 1)^2$. *(Внимание: после $x=1$ парабола уходит вверх, а нам нужно ограничение осью Ox, поэтому берем только этот участок).* 3. **Вычисление площади через интегралы:** $S = \int_{-1}^{0} (x + 1) dx + \int_{0}^{1} (x - 1)^2 dx$ * Вычислим первый интеграл: $\int_{-1}^{0} (x + 1) dx = [\frac{x^2}{2} + x]_{-1}^{0} = (0) - (\frac{(-1)^2}{2} - 1) = -(0,5 - 1) = 0,5$ * Вычислим второй интеграл: $\int_{0}^{1} (x - 1)^2 dx = [\frac{(x - 1)^3}{3}]_{0}^{1} = (\frac{(1 - 1)^3}{3}) - (\frac{(0 - 1)^3}{3}) = 0 - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$ 4. **Итоговая площадь:** $S = 0,5 + \frac{1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}$ **Допущение:** В условии сказано "ограниченной параболой, прямой и осью Ox". Если рассматривать треугольную область в нижней части (от -1 до 1), то $S = \frac{5}{6}$. Если же подразумевается область между графиками выше оси $Ox$ до точки их пересечения $x=3$, то расчет был бы иным, но фраза "и осью $Ox$" указывает на нижнюю границу.