Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y = 1/2x², y = 0, x = 3; б) y = -x² - 2x, y = 0

Question

Вопрос:

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y = 1/2x², y = 0, x = 3; б) y = -x² - 2x, y = 0

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями, нужно вычислить определенный интеграл функции на заданном промежутке. a) $y = \frac{1}{2}x^2$, $y = 0$, $x = 3$. Фигура ограничена параболой, осью $Ox$ ($y=0$) и вертикальной прямой $x=3$. Точка пересечения параболы с осью $Ox$: $\frac{1}{2}x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$. Пределы интегрирования от $0$ до $3$. $S = \int_0^3 \frac{1}{2}x^2 dx = [\frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3}]_0^3 = [\frac{x^3}{6}]_0^3 = \frac{3^3}{6} - \frac{0^3}{6} = \frac{27}{6} = 4,5$. Ответ: 4,5. б) $y = -x^2 - 2x$, $y = 0$. Найдем точки пересечения параболы с осью $Ox$ ($y=0$): $-x^2 - 2x = 0$ $-x(x + 2) = 0$ $x_1 = 0, x_2 = -2$. Пределы интегрирования от $-2$ до $0$. На этом интервале парабола ветвями вниз находится выше оси $Ox$. $S = \int_{-2}^0 (-x^2 - 2x) dx = [-\frac{x^3}{3} - x^2]_{-2}^0 = (-\frac{0}{3} - 0) - (-\frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2) = 0 - (\frac{8}{3} - 4) = -(2\frac{2}{3} - 4) = -(-1\frac{1}{3}) = 1\frac{1}{3} \approx 1,33$. Ответ: $1\frac{1}{3}$.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y = 1/2x², y = 0, x = 3; б) y = -x² - 2x, y = 0

Ответ ассистента

Другие решения