Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x² и прямой y = x + 2.

Question

Вопрос:

Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x² и прямой y = x + 2.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$ и $y = x + 2$, воспользуемся определенным интегралом. 1. Найдем точки пересечения графиков, приравняв правые части уравнений: $x^2 = x + 2$ $x^2 - x - 2 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = -1, x_2 = 2$. Эти значения будут пределами интегрирования. 2. Определим, какая функция находится выше на интервале $(-1; 2)$. Подставим $x = 0$: $y_1 = 0^2 = 0$, $y_2 = 0 + 2 = 2$. Прямая $y = x + 2$ лежит выше параболы. 3. Вычислим площадь $S$ как интеграл разности функций: $S = \int_{-1}^{2} (x + 2 - x^2) dx = \left. \left( \frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right) \right|_{-1}^{2} =$ $= (\frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}) - (\frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) - \frac{(-1)^3}{3}) =$ $= (2 + 4 - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}) = (6 - 2\frac{2}{3}) - (0,5 - 2 + 0,33...) = 3\frac{1}{3} - (-1\frac{1}{6}) = 3\frac{2}{6} + 1\frac{1}{6} = 4\frac{3}{6} = 4,5$. **Ответ: 4,5.**

Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x² и прямой y = x + 2.

Ответ ассистента

Другие решения