Найдите площадь фигуры, ограниченной двумя параболами y = 2 + 4x - x² и y = x² - 2x + 2

Question

Вопрос:

Найдите площадь фигуры, ограниченной двумя параболами y = 2 + 4x - x² и y = x² - 2x + 2

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя параболами, нужно определить точки их пересечения и вычислить определенный интеграл разности функций на этом интервале. 1. Найдем точки пересечения, приравняв правые части уравнений функций $y_1 = 2 + 4x - x^2$ и $y_2 = x^2 - 2x + 2$: $2 + 4x - x^2 = x^2 - 2x + 2$ $-2x^2 + 6x = 0$ $-2x(x - 3) = 0$ $x_1 = 0, x_2 = 3$ — пределы интегрирования. 2. Определим, какая функция выше на интервале $(0; 3)$. Возьмем $x = 1$: $y_1(1) = 2 + 4 - 1 = 5$ $y_2(1) = 1 - 2 + 2 = 1$ $y_1 > y_2$, значит, из первой функции вычитаем вторую. 3. Вычислим площадь $S$ через интеграл: $S = \int_{0}^{3} ((2 + 4x - x^2) - (x^2 - 2x + 2)) dx = \int_{0}^{3} (-2x^2 + 6x) dx$ $S = \left. (- \frac{2x^3}{3} + 3x^2) \right|_0^3 = (- \frac{2 \cdot 3^3}{3} + 3 \cdot 3^2) - 0 = -18 + 27 = 9$ **Ответ: 9**.

Найдите площадь фигуры, ограниченной двумя параболами y = 2 + 4x - x² и y = x² - 2x + 2

Ответ ассистента

Другие решения