Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна a, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите: а) диагональ призмы; б) угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани; в) площадь боковой поверхности призмы; г) площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.

Дано: правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, сторона основания $AB = a$, угол между диагональю $B_1D$ и плоскостью основания $\angle B_1DB = 45^\circ$. 1. Найдём диагональ основания $BD$ (квадрата со стороной $a$): $BD = a\sqrt{2}$. 2. Рассмотрим прямоугольный $\triangle B_1BD$ ($\angle B = 90^\circ$): Так как $\angle B_1DB = 45^\circ$, то $\triangle B_1BD$ — равнобедренный, значит, высота призмы $BB_1 = BD = a\sqrt{2}$. а) Диагональ призмы $d = B_1D$: $B_1D = \frac{BD}{\cos 45^\circ} = \frac{a\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2a$. **Ответ: $2a$.** б) Угол $\beta$ между диагональю призмы $B_1D$ и плоскостью боковой грани ($AA_1D_1D$): Проекцией $B_1D$ на плоскость $AA_1D_1D$ является отрезок $A_1D$ (так как $B_1A_1 \perp (AA_1D)$). Искомый угол — $\angle B_1DA_1$. В прямоугольном $\triangle B_1A_1D$ ($\angle A_1 = 90^\circ$): $\sin \beta = \frac{B_1A_1}{B_1D} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$. $\beta = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$. **Ответ: $30^\circ$.** в) Площадь боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 4a \cdot a\sqrt{2} = 4a^2\sqrt{2}$. **Ответ: $4a^2\sqrt{2}$.** г) Сечение, проходящее через сторону нижнего основания ($AD$) и противоположную сторону верхнего ($B_1C_1$), является прямоугольником $AB_1C_1D$. Сторона $AD = a$. Сторона $AB_1$ находится из $\triangle ABB_1$ по теореме Пифагора: $AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt{3}$. $S_{сеч} = AD \cdot AB_1 = a \cdot a\sqrt{3} = a^2\sqrt{3}$. **Ответ: $a^2\sqrt{3}$.**