1. Основанием прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 20 см и катетом 16 см. Диагональ боковой грани, содержащей второй катет треугольника, равна 13 см. Найдите площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности призмы.

1. **Решение:** 1) Найдём второй катет основания ($a$) по теореме Пифагора: $a = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12$ см. 2) Найдём высоту призмы ($h$) из прямоугольного треугольника боковой грани (где гипотенуза — диагональ грани 13 см, а катет — катет основания 12 см): $h = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см. 3) Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (12 + 16 + 20) \cdot 5 = 48 \cdot 5 = 240$ см². 4) Площадь основания: $S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ см². 5) Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 240 + 2 \cdot 96 = 240 + 192 = 432$ см². **Ответ: 240 см², 432 см².** 2. **Решение:** 1) В основании квадрат со стороной $a = 6$ см. Его диагональ $d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см. 2) Высота призмы ($h$) через диагональ призмы и её проекцию (диагональ основания) под углом $30^\circ$: $h = d \cdot \text{tg}(30^\circ) = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{6}$ см. 3) Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h = (4 \cdot 6) \cdot 2\sqrt{6} = 48\sqrt{6}$ см². **Ответ: $48\sqrt{6}$ см².** 3. **Решение:** 1) Ромб с острым углом $60^\circ$ и меньшей диагональю 6 см состоит из двух равносторонних треугольников. Значит, сторона ромба $a = 6$ см. 2) Большая диагональ ромба $D = 2 \cdot (6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = 6\sqrt{3}$ см. 3) Найдём высоту призмы: $S_{бок} = 4a \cdot h \Rightarrow 72\sqrt{3} = 4 \cdot 6 \cdot h \Rightarrow h = \frac{72\sqrt{3}}{24} = 3\sqrt{3}$ см. 4) Площадь сечения (прямоугольник со сторонами $D$ и $h$): $S_{сеч} = D \cdot h = 6\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 18 \cdot 3 = 54$ см². **Ответ: 54 см².** 4. **Решение:** 1) Найдём площадь двух оснований: $2S_{осн} = S_{полн} - S_{бок} = 128 - 96 = 32$ дм², значит $S_{осн} = 16$ дм². 2) Площадь ромба $S_{осн} = a \cdot h_{ромба} \Rightarrow 16 = a \cdot 2 \Rightarrow a = 8$ дм (сторона основания). 3) Периметр основания $P = 4a = 4 \cdot 8 = 32$ дм. 4) Высота призмы $H = \frac{S_{бок}}{P} = \frac{96}{32} = 3$ дм. **Ответ: 3 дм.**