1. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 8 см, а боковое ребро 3√2 см. Через диагональ основания под углом 45° к его плоскости проведено сечение. Найдите его площадь.

1. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна $8\text{ см}$, а боковое ребро равно $3\sqrt{2}\text{ см}$. Через диагональ основания под углом $45^{\circ}$ к его плоскости проведено сечение. Найдите его площадь. Дано: Правильная четырехугольная призма Сторона основания $a = 8\text{ см}$ Боковое ребро (высота призмы) $h = 3\sqrt{2}\text{ см}$ Угол между сечением и плоскостью основания $\alpha = 45^{\circ}$ Найти: площадь сечения $S_{сеч}$ Решение: 1. Основание правильной четырехугольной призмы — это квадрат. Диагональ основания $d$ можно найти по формуле $d = a\sqrt{2}$. $$d = 8\sqrt{2}\text{ см}$$ 2. Сечение проходит через диагональ основания. Пусть эта диагональ будет $AC$. Если сечение проходит под углом $45^{\circ}$ к плоскости основания, то оно представляет собой прямоугольник или трапецию. Поскольку диагональ основания принадлежит сечению и сечение проведено через диагональ основания, то это наклонное сечение. Представим прямоугольный треугольник, где один катет — это диагональ основания ($d$), другой катет — это проекция наклонной стороны сечения на плоскость, а гипотенуза — это сама наклонная сторона сечения. Но в данном случае угол $45^{\circ}$ относится к плоскости сечения. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, диагональю основания и наклонной стороной сечения. Если сечение проведено через диагональ основания $AC$ и угол с плоскостью основания $45^{\circ}$, то это означает, что высота сечения, опущенная на диагональ основания, образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$. В данном случае, если сечение проходит через диагональ основания, то оно отсекает часть призмы. Пусть диагональ основания — $AC$. Высота призмы $h = 3\sqrt{2}\text{ см}$. Пусть $l$ — это длина наклонной стороны сечения. Пусть $\text{ABCF}$ — это сечение. $AC = d = 8\sqrt{2}\text{ см}$. Высота сечения $h_{сеч}$ — это перпендикуляр из точки $F$ на линию $AC$. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен $45^{\circ}$. Это означает, что угол между высотой призмы ($h$) и наклонной стороной сечения равен $45^{\circ}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой призмы $h$, половиной диагонали основания (или расстоянием от центра до стороны) и наклонной линией. Допустим, сечение — это прямоугольник $A'C'CA$. $AC$ — диагональ основания. $AA'$ и $CC'$ — боковые ребра. $A'C'$ — верхняя диагональ. Тогда площадь сечения будет $S = AC \cdot AA'$. Но это не наклонное сечение. Если сечение проведено через диагональ основания $d_{осн}$ и образует угол $45^{\circ}$ с плоскостью основания, то это означает, что высота сечения $h_{сеч}$ связана с высотой призмы $H$ и шириной сечения $b$. Давайте обозначим диагональ основания как $d_1 = 8\sqrt{2}\text{ см}$. Пусть сечение — это прямоугольник. Тогда одна сторона прямоугольника — это диагональ основания $d_1 = 8\sqrt{2}\text{ см}$. Другая сторона $l$ — это наклонная линия. Представим, что сечение — это прямоугольник. Одна сторона — это диагональ основания. Другая сторона — это линия, которая лежит в плоскости сечения. Пусть сечение пересекает боковые грани. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен $45^{\circ}$. Пусть $d_{осн}$ — диагональ основания. $d_{осн} = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\text{ см}$. Высота призмы $H = 3\sqrt{2}\text{ см}$. Площадь сечения $S_{сеч} = d_{осн} \cdot l_{сторона\ сечения}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $H$, проекцией $x$ наклонной стороны на плоскость основания и самой наклонной стороной $l_{сеч}$. Но угол $45^{\circ}$ — это угол между плоскостью сечения и плоскостью основания. Проекция сечения на плоскость основания — это диагональ основания. Пусть $AC$ — диагональ основания. Ширина сечения перпендикулярно $AC$ в плоскости сечения будет $w$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где один катет — это высота призмы $H = 3\sqrt{2}$, а другой катет — это проекция перпендикуляра сечения на плоскость основания. Если сечение проведено через диагональ основания $d_{осн}$ под углом $45^{\circ}$ к плоскости основания. Пусть $l$ — длина наклонной стороны сечения. Высота сечения $h_{сеч}$ в плоскости сечения. Если сечение проходит через диагональ основания, то это диагональное сечение. В правильной четырехугольной призме диагональное сечение, проходящее через диагональ основания, является прямоугольником. Но если оно образует угол $45^{\circ}$ с плоскостью основания, то это другое сечение. Предположим, сечение — это прямоугольник, проходящий через диагональ основания. Тогда проекция этого прямоугольника на плоскость основания — это сама диагональ основания $d = 8\sqrt{2}\text{ см}$. Обозначим ширину сечения как $x$. Высота призмы $H = 3\sqrt{2}\text{ см}$. Тогда $x = H / \sin(45^{\circ})$ или $x = d / \cos(45^{\circ})$. Смотри, если сечение проведено через диагональ основания, то это означает, что одна из сторон этого сечения совпадает с диагональю основания. Пусть эта сторона будет $d = 8\sqrt{2}\text{ см}$. Другая сторона сечения — это отрезок, который соединяет вершины верхнего и нижнего основания, лежащие в плоскости сечения. Площадь сечения $S_{сеч} = d \cdot h_{сеч}$, где $h_{сеч}$ — это высота сечения. Высота призмы $H = 3\sqrt{2}\text{ см}$. Угол $45^{\circ}$ между плоскостью сечения и плоскостью основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник. Один катет — это высота призмы $H = 3\sqrt{2}$. Гипотенуза — это высота сечения $h_{сеч}$. Другой катет — это расстояние от центра основания до стороны сечения (или половина диагонали). $\sin(45^{\circ}) = H / h_{сеч}$ $h_{сеч} = H / \sin(45^{\circ}) = 3\sqrt{2} / (\sqrt{2}/2) = 3\sqrt{2} \cdot (2/\sqrt{2}) = 6\text{ см}$. Тогда площадь сечения $S_{сеч} = d \cdot h_{сеч} = 8\sqrt{2} \cdot 6 = 48\sqrt{2}\text{ см}^2$. **Ответ:** $48\sqrt{2}\text{ см}^2$