а) Решите уравнение sin 2x - 2sin(-x) = 1 + cos(-x). б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π].

**Ответ:** а) $x = \pi k, \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ б) $-3\pi; \quad -\frac{7\pi}{3}$ **Решение:** **а) Решим уравнение:** $\sin 2x - 2\sin(-x) = 1 + \cos(-x)$ Используем свойства четности/нечетности: $\sin(-x) = -\sin x$ и $\cos(-x) = \cos x$, а также формулу двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $2\sin x \cos x + 2\sin x = 1 + \cos x$ Сгруппируем члены: $2\sin x(\cos x + 1) - (1 + \cos x) = 0$ $(2\sin x - 1)(\cos x + 1) = 0$ 1. $\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi k$ 2. $2\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ Объединяя решения для компактности: $x = \pi k$ (так как точки вида $\pi+2\pi k$ входят в серию $\pi k$ при нечетных $k$, но проверим еще раз разложение: $\cos x + 1 = 0 \implies x = \pi + 2\pi k$.) Уточним корни: $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi k$ $\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ **б) Отберем корни на отрезке $[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi]$:** 1. Для $x = \pi + 2\pi k$: При $k = -2$: $x = \pi - 4\pi = -3\pi$ — входит в отрезок. 2. Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: При $k = -2$: $x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6} \approx -3,8\pi$ — не входит. При $k = -1$: $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6} \approx -1,8\pi$ — не входит. 3. Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: При $k = -2$: $x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6} \approx -3,16\pi$ — входит. Вычислим точно: $-\frac{21\pi}{6} \le -\frac{19\pi}{6} \le -\frac{12\pi}{6}$ (Да, $-3,5\pi \le -3,16\pi \le -2\pi$)