а) Решим уравнение $2\sin^2x - \cos(x+\pi) - 1 = 0$.
Сначала упростим $\cos(x+\pi)$ по формуле приведения. $\cos(x+\pi) = -\cos x$.
Тогда уравнение примет вид:
$$2\sin^2x - (-\cos x) - 1 = 0$$
$$2\sin^2x + \cos x - 1 = 0$$
Теперь используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2x = 1 - \cos^2x$:
$$2(1 - \cos^2x) + \cos x - 1 = 0$$
$$2 - 2\cos^2x + \cos x - 1 = 0$$
$$-2\cos^2x + \cos x + 1 = 0$$
Умножим все на -1, чтобы коэффициент при $\cos^2x$ был положительным:
$$2\cos^2x - \cos x - 1 = 0$$
Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Тогда $t \in [-1; 1]$. Уравнение станет квадратным:
$$2t^2 - t - 1 = 0$$
Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:
$$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$
$$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4}$$
$$t_1 = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$$
$$t_2 = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$
Вернемся к замене $\cos x = t$:
1) $\cos x = 1$
$$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$
2) $\cos x = -\frac{1}{2}$
$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$
**Ответ к а):** $x = 2\pi n, x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}$
б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.
Рассмотрим первую серию решений $x = 2\pi n$:
Подставим значения $n$ и проверим, попадают ли они в отрезок.
Если $n = 0$, $x = 0$, не принадлежит отрезку.
Если $n = -1$, $x = -2\pi$. Это значение входит в отрезок, так как $-2\pi = -2\pi$.
Если $n = -2$, $x = -4\pi = -\frac{8\pi}{2}$. Это значение не принадлежит отрезку, так как $-4\pi < -\frac{7\pi}{2}$.
Значит, из первой серии подходит $x = -2\pi$.
Рассмотрим вторую серию решений $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:
Приравняем к границам отрезка и найдем подходящие $k$.
$-\frac{7\pi}{2} \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le -2\pi$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-\frac{7}{2} \le \frac{2}{3} + 2k \le -2$
Вычтем $\frac{2}{3}$ из всех частей:
$-\frac{7}{2} - \frac{2}{3} \le 2k \le -2 - \frac{2}{3}$
Приведем к общему знаменателю:
$-\frac{21}{6} - \frac{4}{6} \le 2k \le -\frac{6}{3} - \frac{2}{3}$
$-\frac{25}{6} \le 2k \le -\frac{8}{3}$
Разделим все части на 2:
$-\frac{25}{12} \le k \le -\frac{8}{6}$
$-\frac{25}{12} \approx -2.08$
$-\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} \approx -1.33$
То есть, $-2.08 \le k \le -1.33$.
Единственное целое значение $k$ в этом промежутке — $k = -2$.
Подставим $k = -2$ в формулу $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:
$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi(-2) = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = \frac{2\pi}{3} - \frac{12\pi}{3} = -\frac{10\pi}{3}$.
Проверим, принадлежит ли $- \frac{10\pi}{3}$ отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$:
$-\frac{7\pi}{2} = -3.5\pi$
$-\frac{10\pi}{3} \approx -3.33\pi$
$-2\pi$
Так как $-3.5\pi \le -3.33\pi \le -2\pi$, то $x = -\frac{10\pi}{3}$ принадлежит отрезку.
Рассмотрим третью серию решений $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:
$-\frac{7\pi}{2} \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \le -2\pi$
Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-\frac{7}{2} \le -\frac{2}{3} + 2k \le -2$
Прибавим $\frac{2}{3}$ ко всем частям:
$-\frac{7}{2} + \frac{2}{3} \le 2k \le -2 + \frac{2}{3}$
Приведем к общему знаменателю:
$-\frac{21}{6} + \frac{4}{6} \le 2k \le -\frac{6}{3} + \frac{2}{3}$
$-\frac{17}{6} \le 2k \le -\frac{4}{3}$
Разделим все части на 2:
$-\frac{17}{12} \le k \le -\frac{4}{6}$
$-\frac{17}{12} \approx -1.41$
$-\frac{4}{6} = -\frac{2}{3} \approx -0.66$
То есть, $-1.41 \le k \le -0.66$.
Нет целых значений $k$ в этом промежутке.
Корни, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$, это $x = -2\pi$ и $x = -\frac{10\pi}{3}$.
**Ответ к б):** $-2\pi, -\frac{10\pi}{3}$
